Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Çok değişkenli bir veri setine ait 3×33 \times 3 boyutlu simetrik ve pozitif tanımlı Σ\Sigma kovaryans matrisinin spektral ayrışımı Σ=PΛPT\Sigma = P \Lambda P^T olarak verilmiştir. Bu matrisin özdeğerleri λ1=9\lambda_1 = 9, λ2=4\lambda_2 = 4 ve λ3=1\lambda_3 = 1'dir.

Aynı Σ\Sigma matrisine Cholesky ayrışımı uygulanarak Σ=LLT\Sigma = L L^T eşitliğini sağlayan alt üçgensel bir LL matrisi elde edilmiştir.

Buna göre, LL matrisinin köşegen elemanlarının çarpımı ile veri setinin toplam varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 6 ve 14Cevap
  2. B
    36 ve 14
  3. C
    6 ve 36
  4. D
    14 ve 36
  5. E
    18 ve 14

Cevap

Doğru eşleşme 6 ve 14 değerlerini içeren seçenektir.
Alt üçgensel bir matris olan LL'nin köşegen elemanlarının çarpımı doğrudan LL'nin determinantına eşittir. Cholesky ayrışımı olan Σ=LLT\Sigma = L L^T eşitliğine göre Det(Σ)=Det(L)2Det(\Sigma) = Det(L)^2 kuralı geçerlidir. Σ\Sigma'nın determinantı özdeğerlerinin çarpımıdır (9×4×1=369 \times 4 \times 1 = 36). Buradan Det(L)=36=6Det(L) = \sqrt{36} = 6 bulunur. Veri setinin toplam varyansı ise kovaryans matrisinin izine, yani özdeğerlerinin toplamına eşittir (9+4+1=149 + 4 + 1 = 14). Bu sebeple doğru eşleşme sırasıyla 6 ve 14 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri setinin toplam varyansını bulmak için Σ\Sigma matrisinin izini (trace) hesapla.
Toplam Varyans = 9+4+1=149 + 4 + 1 = 14
Bir kovaryans matrisinin izi (köşegen elemanları toplamı) toplam varyansı verir ve bu değer spektral ayrışımdaki özdeğerlerin toplamına eşittir.
2
Orijinal Σ\Sigma matrisinin determinantını hesapla.
Det(Σ)=9×4×1=36Det(\Sigma) = 9 \times 4 \times 1 = 36
Spektral ayrışıma göre bir matrisin determinantı, özdeğerlerinin çarpımına eşittir.
3
Cholesky ayrışımının özelliğini kullanarak LL matrisinin determinantını bul.
Det(L)=36=6Det(L) = \sqrt{36} = 6
Cholesky ayrışımında Σ=LLT\Sigma = L L^T olduğundan, determinant özellikleri gereği Det(Σ)=Det(L)×Det(LT)=Det(L)2Det(\Sigma) = Det(L) \times Det(L^T) = Det(L)^2 bağıntısı vardır.
4
LL matrisinin determinantı ile köşegen elemanları arasındaki ilişkiyi kur.
Köşegen elemanlarının çarpımı = 6
Alt üçgensel matrislerin (LL) determinantı, daima asal köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Spektral Ayrışım ve Cholesky Ayrışımında Özdeğer, İz ve Determinant İlişkileri
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru