Examkin

Soru

Zorluk: ZorMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Çok değişkenli analiz uygulamalarında, p×pp \times p boyutlu, simetrik ve pozitif tanımlı bir Σ\Sigma varyans-kovaryans matrisinin parçalanış yöntemleri sıklıkla kullanılmaktadır. Bir araştırmacı, boyut indirgeme algoritmalarında kullanmak üzere Σ\Sigma matrisinin spektral ayrışımını Σ=PΛP′\Sigma = P \Lambda P' şeklinde; veri simülasyonu algoritmalarında kullanmak üzere ise Cholesky parçalanışını Σ=LL′\Sigma = L L' şeklinde elde etmiştir.

Bu iki parçalanış yöntemi ve elde edilen matrislerin (P,Λ,LP, \Lambda, L) özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. A
    Spektral ayrışımda kullanılan PP matrisinin sütunları, Σ\Sigma matrisinin ortogonal özvektörlerinden oluşur ve P′=P−1P' = P^{-1} eşitliği sağlanır.
  2. B
    Σ\Sigma matrisinin determinantı, hem Λ\Lambda matrisinin köşegen elemanlarının çarpımına hem de LL matrisinin köşegen elemanlarının çarpımının karesine eşittir.
  3. Cholesky parçalanışındaki LL alt üçgensel matrisinin köşegen elemanlarının karelerinin toplamı, Σ\Sigma matrisinin izine (trace) ve dolayısıyla özdeğerlerinin toplamına eşittir.Cevap
  4. D
    Σ\Sigma matrisinin pozitif tanımlı olması, köşegen elemanları kesinlikle pozitif olan benzersiz bir LL alt üçgensel matrisi ile Cholesky parçalanışının yapılabilmesi için gerek ve yeter koşuldur.
  5. E
    Σ\Sigma matrisinin tersinin (Σ−1\Sigma^{-1}) spektral ayrışımı PΛ−1P′P \Lambda^{-1} P' formundadır ve bu ters matrisin özdeğerleri, orijinal matrisin özdeğerlerinin çarpmaya göre tersidir.

Cevap

Cholesky parçalanışındaki L matrisinin köşegen elemanlarının karelerinin toplamının matrisin izine (özdeğerler toplamına) eşit olduğunu iddia eden ifade kesinlikle yanlıştır.
Matrisin izi (trace), özdeğerlerinin toplamına eşittir (Tr(Σ)=∑λiTr(\Sigma) = \sum \lambda_i). Ancak Σ=LL′\Sigma = L L' parçalanışında, Tr(Σ)Tr(\Sigma) değeri matris çarpımı gereği LL matrisinin sadece köşegen elemanlarının (∑lii2\sum l_{ii}^2) değil, alt üçgensel kısmındaki *tüm* sıfır dışı elemanlarının karelerinin toplamına eşittir. Determinant hesabı için geçerli olan 'köşegenlerin çarpım kuralı', iz işlemi için doğrudan 'köşegen karelerinin toplamı' şeklinde genişletilemez. Bu nedenle köşegen elemanlarının karelerinin toplamının ize eşit olduğunu belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İz (Trace) ve determinant özelliklerinin farklılıklarını değerlendirme
Determinant çarpımsal bir özellik taşırken, izin toplamsal bir özellik taşıdığı hatırlanır.
Matris özelliklerinin parçalanışlara nasıl yansıdığını belirlemek için.
2
Cholesky parçalanışında matris elemanlarının yapısını inceleme
Σ=LL′\Sigma = L L' işleminde, Σ\Sigma'nın köşegen elemanları (σii\sigma_{ii}), LL matrisinin i. satırındaki elemanların kareleri toplamıdır (∑k=1ilik2\sum_{k=1}^i l_{ik}^2).
İz değerinin (Tr(Σ)Tr(\Sigma)) hangi elemanlardan oluştuğunu bulmak için.
3
Σ\Sigma'nın izini LL matrisi cinsinden yazma
Tr(Σ)=∑i=1pσii=∑i=1p∑k=1ilik2Tr(\Sigma) = \sum_{i=1}^p \sigma_{ii} = \sum_{i=1}^p \sum_{k=1}^i l_{ik}^2 olduğu görülür. Bu, L'nin sadece köşegen elemanlarının değil, tüm sıfır dışı elemanlarının kareleri toplamıdır.
Yanlış olan ifadeyi matematiksel olarak ispatlamak için.
4
Sonucu özdeğerlerle karşılaştırma
Tr(Σ)Tr(\Sigma) özdeğerlerin toplamına (∑λi\sum \lambda_i) eşit olmasına rağmen, LL matrisinin sadece köşegen elemanlarının kareleri toplamına (∑lii2\sum l_{ii}^2) eşit değildir. LL matrisi köşegen dışı sıfırdan farklı elemanlara sahip olduğundan bu toplam daima izden daha küçüktür.
Aranan yanlış ifadeyi net bir şekilde tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Matris Parçalanışlarında İz (Trace) ve Determinant Özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru