Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

İki değişkenli bir veri setine ait 2×22 \times 2 boyutlu, simetrik ve pozitif tanımlı Σ\Sigma kovaryans matrisinin spektral ayrışımı Σ=PΛPT\Sigma = P \Lambda P^T biçimindedir.
Bu ayrışımda Λ\Lambda köşegen matrisinin asal köşegen üzerindeki elemanları (özdeğerler) sırasıyla 88 ve 22'dir.
Buna göre, Σ\Sigma matrisinin tersi olan Σ−1\Sigma^{-1} matrisinin izi (tr(Σ−1)tr(\Sigma^{-1})) ve determinantı (∣Σ−1∣|\Sigma^{-1}|) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. tr(Σ−1)=58,∣Σ−1∣=116tr(\Sigma^{-1}) = \frac{5}{8}, \quad |\Sigma^{-1}| = \frac{1}{16}Cevap
  2. B
    tr(Σ−1)=10,∣Σ−1∣=16tr(\Sigma^{-1}) = 10, \quad |\Sigma^{-1}| = 16
  3. C
    tr(Σ−1)=116,∣Σ−1∣=58tr(\Sigma^{-1}) = \frac{1}{16}, \quad |\Sigma^{-1}| = \frac{5}{8}
  4. D
    tr(Σ−1)=110,∣Σ−1∣=116tr(\Sigma^{-1}) = \frac{1}{10}, \quad |\Sigma^{-1}| = \frac{1}{16}
  5. E
    tr(Σ−1)=58,∣Σ−1∣=110tr(\Sigma^{-1}) = \frac{5}{8}, \quad |\Sigma^{-1}| = \frac{1}{10}

Cevap

İz değeri 5/85/8, determinant değeri ise 1/161/16 olan seçenektir.
Spektral ayrışım teoremine göre, Σ\Sigma matrisinin özdeğerleri 88 ve 22 ise, bu matrisin tersinin (Σ−1\Sigma^{-1}) özdeğerleri sırasıyla 1/81/8 ve 1/21/2 olur. Matris cebirinde bir matrisin izi (trace), asal köşegen elemanlarının toplamına ve aynı zamanda özdeğerlerinin toplamına eşittir. Bu bağlamda tr(Σ−1)=1/8+1/2=5/8tr(\Sigma^{-1}) = 1/8 + 1/2 = 5/8 bulunur. Benzer şekilde, bir matrisin determinantı özdeğerlerinin çarpımına eşittir, bu nedenle ∣Σ−1∣=(1/8)×(1/2)=1/16|\Sigma^{-1}| = (1/8) \times (1/2) = 1/16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Σ−1\Sigma^{-1} matrisinin özdeğerlerini bulma
λ1−1=18\lambda_1^{-1} = \frac{1}{8} ve λ2−1=12\lambda_2^{-1} = \frac{1}{2}
Spektral ayrışım özelliğine göre, Σ\Sigma matrisinin özdeğerleri λi\lambda_i ise, tersi olan Σ−1\Sigma^{-1} matrisinin özdeğerleri 1λi\frac{1}{\lambda_i} olur.
2
Σ−1\Sigma^{-1} matrisinin izini hesaplama
tr(Σ−1)=18+12=58tr(\Sigma^{-1}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}
Bir matrisin izi (trace), o matrisin özdeğerlerinin toplamına eşittir.
3
Σ−1\Sigma^{-1} matrisinin determinantını hesaplama
∣Σ−1∣=18×12=116|\Sigma^{-1}| = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}
Bir matrisin determinantı, o matrisin özdeğerlerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Spektral Ayrışım ve Ters Matrisin Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru