Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMatris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

İstatistiksel sınıflandırma ve kümeleme analizlerinde sıklıkla kullanılan karesel Mahalanobis uzaklığı, bir xx gözlem vektörünün ortalama vektörü xˉ\bar{x}'e olan uzaklığını hesaplarken değişkenler arasındaki ilişki yapısını da dikkate alır. Bu uzaklık (x−xˉ)TS−1(x−xˉ)(x - \bar{x})^T S^{-1} (x - \bar{x}) formülü ile hesaplanır.

Burada SS, simetrik ve pozitif tanımlı örneklem varyans-kovaryans matrisidir. SS matrisinin spektral ayrışımı S=PΛPTS = P \Lambda P^T şeklinde tanımlanmıştır (burada PP ortogonal özvektörler matrisini, Λ\Lambda ise köşegen özdeğerler matrisini ifade etmektedir).

Buna göre, karesel Mahalanobis uzaklığının spektral ayrışım bileşenleri cinsinden ifade edilmiş en sade ve doğru biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (x−xˉ)TΛ−1PPT(x−xˉ)(x - \bar{x})^T \Lambda^{-1} P P^T (x - \bar{x})
  2. B
    (x−xˉ)TPTΛ−1P(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P^T \Lambda^{-1} P (x - \bar{x})
  3. (x−xˉ)TPΛ−1PT(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P \Lambda^{-1} P^T (x - \bar{x})Cevap
  4. D
    (x−xˉ)TPΛPT(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P \Lambda P^T (x - \bar{x})
  5. E
    (x−xˉ)TPTΛP(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P^T \Lambda P (x - \bar{x})

Cevap

Karesel Mahalanobis uzaklığının spektral ayrışım kullanılarak yazılan doğru biçimi (x−xˉ)TPΛ−1PT(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P \Lambda^{-1} P^T (x - \bar{x}) ifadesidir.
Karesel Mahalanobis uzaklığı formülünde örneklem varyans-kovaryans matrisinin tersi (S−1S^{-1}) kullanılmaktadır. SS matrisinin spektral ayrışımı S=PΛPTS = P \Lambda P^T biçimindedir. Matris çarpımının tersi alınırken elemanların çarpım sırası tersine döner: S−1=(PΛPT)−1=(PT)−1Λ−1P−1S^{-1} = (P \Lambda P^T)^{-1} = (P^T)^{-1} \Lambda^{-1} P^{-1}. PP matrisi ortogonal (dik) olduğundan, PTP=IP^T P = I özelliğine sahiptir ve dolayısıyla P−1=PTP^{-1} = P^T'dir. Bu özellik kullanıldığında (PT)−1=(P−1)−1=P(P^T)^{-1} = (P^{-1})^{-1} = P elde edilir. Sonuç olarak S−1=PΛ−1PTS^{-1} = P \Lambda^{-1} P^T bulunur. Bu ifade uzaklık formülünde yerine konulduğunda doğru eşitlik elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans-kovaryans matrisinin tersinin (S−1S^{-1}) spektral ayrışımını kurgulama
S−1=(PΛPT)−1S^{-1} = (P \Lambda P^T)^{-1} eşitliği yazılır.
Mahalanobis uzaklığı formülünde doğrudan varyans-kovaryans matrisinin kendisi değil, onun tersi (S−1S^{-1}) yer almaktadır.
2
Matris çarpımının tersi kuralını ve ortogonal matris özelliğini uygulama
Çarpımın tersi kuralı gereği ifade (PT)−1Λ−1P−1(P^T)^{-1} \Lambda^{-1} P^{-1} biçimine dönüşür. PP ortogonal olduğundan P−1=PTP^{-1} = P^T ve (PT)−1=P(P^T)^{-1} = P eşitlikleri ile ifade en sade hali olan PΛ−1PTP \Lambda^{-1} P^T durumunu alır.
Bir matris çarpımının tersi alınırken sıranın değişmesi kuralı ile ortogonal matrislerin tersinin devriğine eşit olduğu kuralları birleştirilir.
3
Elde edilen ters matrisi uzaklık formülüne yerleştirme
Bulunan S−1=PΛ−1PTS^{-1} = P \Lambda^{-1} P^T ifadesi, uzaklık formülünde yerine konularak (x−xˉ)TPΛ−1PT(x−xˉ)(x - \bar{x})^T P \Lambda^{-1} P^T (x - \bar{x}) eşitliği elde edilir.
Uzaklık ölçüsünün spektral ayrışım bileşenleri cinsinden nihai halini belirlemek hedeflenmektedir.

Anahtar Kavram

Varyans-kovaryans matrisinin tersinin spektral ayrışımı ve ortogonal matris özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Matris Parçalanışları (Spektral Ayrışım ve Cholesky)

Bu konudan daha fazla soru