Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı

Örnekleme teorisinde, yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak oluşturulan oran tahminleyicisinin (R^=yˉ/xˉ\hat{R} = \bar{y}/\bar{x}) yanlılığı ve varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yanlılığı standart hatadan daha hızlı küçüldüğü için Hata Karesi Ortalaması varyansa yaklaşık olarak eşittir.Cevap
  2. B
    Oran tahminleyicisi, değişkenler arasındaki ilişki ne olursa olsun küçük örneklemlerde de her zaman yansız (unbiased) bir tahminleyicidir.
  3. C
    İadesiz basit rastgele örneklemede oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) kullanılması gerekmez.
  4. D
    Oran tahminleyicisinin Hata Karesi Ortalaması, varyans ile yanlılığın mutlak değerinin toplamına eşittir.
  5. E
    Oran tahminleyicisinin varyansı sadece ilgilenilen değişkenin (yy) varyansına bağlıdır ve yardımcı değişkenin (xx) varyansından bağımsızdır.

Cevap

Büyük örneklemlerde oran tahminleyicisinin yanlılığı standart hatadan daha hızlı küçüldüğü için Hata Karesi Ortalaması varyansa yaklaşık olarak eşittir.
Oran tahminleyicisi (hatR\\hat{R}) yanlı bir tahminleyici olmasına rağmen, asimptotik olarak yansızdır. Örneklem hacmi (nn) arttıkça, yanlılık 1/n1/n mertebesinde azalırken varyans 1/n1/n ve standart hata 1/sqrtn1/\\sqrt{n} mertebesinde azalır. Bu durum, büyük örneklemlerde yanlılığın standart hataya oranla çok daha küçük kalmasına ve Hata Karesi Ortalaması'nın (MSE=Var+Bias2MSE = Var + Bias^2) yaklaşık olarak varyansa eşit kabul edilmesine olanak tanır.

Adım Adım Çözüm

1
Oran tahminleyicisinin yanlılık (bias) özelliğinin tanımlanması
Bias(R^)≈O(1/n)Bias(\hat{R}) \approx O(1/n)
Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve bu yanlılık örneklem hacmi ile ters orantılıdır.
2
Hata Karesi Ortalaması (HKO) ve Varyans arasındaki ilişkinin belirlenmesi
HKO(R^)=Varyans(R^)+[Yanlılık(R^)]2HKO(\hat{R}) = Varyans(\hat{R}) + [Yanlılık(\hat{R})]^2
MSE tanımı gereği varyans ve yanlılık karesinin toplamından oluşur.
3
Asimptotik durumun analiz edilmesi
n→∞n \rightarrow \infty iken [Yanlılık]2[Yanlılık]^2 değeri 1/n21/n^2 hızında sıfıra yaklaşırken Varyans 1/n1/n hızında yaklaşır.
Yanlılığın karesi, varyanstan çok daha hızlı küçüldüğü için büyük örneklemlerde ihmal edilebilir ve HKO≈VaryansHKO \approx Varyans olur.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve Hata Karesi Ortalaması bileşenleri

Daha Fazla Pratik

Regresyon tahminleyicisinin varyansı ile oran tahminleyicisinin varyansını hangi korelasyon koşullarında karşılaştırmak gerektiğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı