Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranını (R) tahmin etmek amacıyla kullanılan \h… — KPSS İstatistik

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle oranını ( $R$ ) tahmin etmek amacıyla kullanılan $\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}$ oran tahminleyicisinin yanlılığı ve varyansı (hata karesi ortalaması) ile ilgili özellikler dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Oran tahminleyicisi genellikle yanlı bir tahminleyicidir; ancak örneklem hacmi ( $n$ ) arttıkça bu yanlılık azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız hale gelir.Cevap
B
Oran tahminleyicisi, örneklem hacminden bağımsız olarak her zaman kitle parametresi ( $R$ ) için tam yansız (unbiased) bir tahmin edicidir.
C
İadesiz basit rastgele örnekleme kullanıldığında, oran tahminleyicisinin varyans formülünde sonlu kitle düzeltme çarpanı ( $1-f$ ) kullanılmaz.
D
Yardımcı değişken ( $x$ ) ile ilgilenilen değişken ( $y$ ) arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) arttıkça, oran tahminleyicisinin varyansı da her zaman artış gösterir.
E
Oran tahminleyicisinin yanlılığı sadece kitledeki birim sayısına ( $N$ ) bağlıdır ve örneklem hacmindeki değişimlerden etkilenmez.

Cevap

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ve büyük örneklemlerde bu yanlılık azalmaktadır.

Oran tahminleyicisi (

\hat{R}

), pay ve paydasındaki değerlerin her ikisi de örneklemden örnekleme değişen rassal değişkenler olduğu için matematiksel olarak yanlı bir tahminleyicidir. Ancak istatistiksel literatürde bu tahminleyicinin yanlılığı örneklem hacmi (

n

) arttıkça azalmakta ve büyük örneklemlerde ihmal edilebilir bir düzeye inmektedir. Bu durum, tahminleyicinin 'asimptotik olarak yansız' olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

Tahminleyicinin yapısını incelemek

\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}}

İki rassal değişkenin oranının matematiksel beklentisinin (

E[\hat{R}]

), oranların beklentisine (

R = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}

) her zaman eşit olup olmadığını anlamak gerekir.

Yanlılık durumunu değerlendirmek

Bias(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2} (RS_x^2 - \rho S_x S_y)

Bu formül, tahminleyicinin örneklem hacmi (

n

) küçük olduğunda yanlı olduğunu, ancak

n

arttıkça paydadaki değer nedeniyle yanlılığın sıfıra yaklaştığını gösterir.

Varyans ve Hata Karesi Ortalaması (HKO) ilişkisini kurmak

HKO(\hat{R}) = V(\hat{R}) + [Bias(\hat{R})]^2

Büyük örneklemlerde yanlılığın karesi, varyansın yanında çok küçük kaldığı için varyans yaklaşık olarak HKO'ya eşit kabul edilir.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve varyans özellikleri

İpuçları

Oran tahminleyicisinin paydasındaki değişkenin de rassal olduğunu hatırlayın.

Büyük örneklem teorisine göre (Merkezi Limit Teoremi bağlamında) tahminleyicilerin davranışı nasıl değişir?

Yanlılık (Bias) formülündeki n çarpanının paydada yer alması, örneklem büyüdükçe yanlılığın nasıl değişeceğini gösterir.

Daha Fazla Pratik

Regresyon tahminleyicisinin yansızlık ve varyans özelliklerini oran tahminleyicisi ile karşılaştırın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular