Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı

Basit rastgele örnekleme (BRÖ) yönteminde, kitle oranı (R=YˉXˉR = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}) tahmini için kullanılan R^=yˉxˉ\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} oran tahminleyicisinin istatistiksel özellikleri ve varyansı (Hata Karesi Ortalaması) hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Tahminleyici genellikle yanlıdır; ancak büyük örneklemlerde yanlılık ihmal edilebilir düzeye iner ve varyansı hesaplanırken iadesiz seçimde Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı kullanılır.Cevap
  2. B
    Oran tahminleyicisi her örneklem hacmi için tam yansız (unbiased) bir tahminleyicidir, dolayısıyla Hata Karesi Ortalaması doğrudan varyansa eşittir.
  3. C
    Varyans (HKO) formülünde, yardımcı değişkenin varyansı (Sx2S_x^2) ve iki değişken arasındaki kovaryans (SxyS_{xy}) terimleri yer almaz; sadece ilgilenilen değişkenin varyansı (Sy2S_y^2) dikkate alınır.
  4. D
    İadesiz seçim yapılmasına rağmen, kitle büyüklüğü NN ve örneklem büyüklüğü nn arasındaki oran dikkate alınmadan SKD çarpanı daima 1 olarak kabul edilir.
  5. E
    Oran tahminleyicisi kullanılarak kitle toplamı tahmini (Y^R=R^⋅X\hat{Y}_R = \hat{R} \cdot X) yapıldığında, elde edilen tahminleyicinin varyansı R^\hat{R}'nin varyansının sadece NN katına eşittir.

Cevap

Oran tahminleyicisi genellikle yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır ve varyans formülü iadesiz seçim durumunda Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını içerir.
Tahminleyicinin asimptotik yansız olması ve varyans formülünde iadesiz seçim gereği Sonlu Kitle Düzeltme çarpanının bulunması, oran tahminleyicisinin temel teorik özellikleridir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahminleyicinin yanlılık durumunu değerlendirmek.
R^=yˉxˉ\hat{R} = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} bir oran olduğu için beklenen değeri E(R^)E(\hat{R}), genellikle RR'ye eşit değildir; bu nedenle tahminleyici yanlıdır.
Pay ve payda rassal değişkenler olduğunda, oranların beklenen değeri oranların beklenen değerlerine eşit olmaz (E[Y/X]≠E[Y]/E[X]E[Y/X] \neq E[Y]/E[X]).
2
Örneklem hacminin (nn) yanlılık üzerindeki etkisini incelemek.
Yanlılık miktarı yaklaşık olarak 1/n1/n ile orantılıdır (O(1/n)O(1/n)).
Büyük örneklemlerde yanlılık terimi varyans terimine göre çok daha hızlı küçülür, bu da tahminleyiciyi 'asimptotik yansız' yapar.
3
Varyans (HKO) bileşenlerini belirlemek.
V(R^)≈1−fnXˉ2(Sy2+R2Sx2−2RρSxSy)V(\hat{R}) \approx \frac{1-f}{n\bar{X}^2}(S_y^2 + R^2S_x^2 - 2R\rho S_x S_y)
İadesiz seçim yapıldığında örnekleme hatasını kitle büyüklüğüne göre düzeltmek için (1−f)(1-f) çarpanı (SKD) formüle eklenir.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin asimptotik yansızlığı ve varyansında Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) kullanımı.

Daha Fazla Pratik

Oran tahminleyicisinin basit aritmetik ortalamaya göre hangi koşullarda (korelasyon katsayısı sınırı) daha etkin olduğunu araştırınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı