Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOlasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bir lojistik merkezinde günlük olarak sevk edilen kargo miktarı (ton), pozitif değerli bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Geçmiş veri analizlerine göre, bu kargo miktarının beklenen değeri E(X)=20E(X) = 20 ton ve varyansı Var(X)=75 ton2Var(X) = 75 \text{ ton}^2 olarak belirlenmiştir.

Lojistik merkezi yöneticisi, kapasite planlaması kapsamında rastgele seçilen bir günde sevk edilen kargo miktarının 30 ton veya daha fazla olma olasılığının (P(X≥30)P(X \geq 30)) alabileceği en büyük değeri bulmak istemektedir.

Sadece bu veriler kullanılarak, Markov ve Chebyshev eşitsizlikleri aracılığıyla elde edilebilecek en kısıtlayıcı (en dar) üst sınır aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Chebyshev eşitsizliği için standart iki taraflı formül kullanılacaktır.)

  1. A
    112\frac{1}{12}
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. 23\frac{2}{3}Cevap
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

En dar (en kısıtlayıcı) üst sınır 23\frac{2}{3}'tür.
Verilen bilgilerle iki farklı üst sınır hesaplanabilir. Markov eşitsizliği ile üst sınır 20/30=2/320/30 = 2/3 bulunur. Chebyshev eşitsizliği kullanıldığında ise aradaki uzaklık ∣30−20∣=10|30 - 20| = 10 alınarak üst sınır 75/102=3/475/10^2 = 3/4 bulunur. Gerçek olasılık her iki sınırı da sağlamak zorunda olduğundan, olasılık bu sınırların en küçüğünden daha büyük olamaz. 2/32/3 değeri 3/43/4'ten küçük olduğu için en dar ve en kısıtlayıcı üst sınır 2/32/3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Markov eşitsizliğini kullanarak ilk üst sınırı hesaplayın.
XX pozitif bir rastgele değişken olduğu için Markov eşitsizliği P(X≥a)≤E(X)aP(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} uygulanabilir. P(X≥30)≤2030=23P(X \geq 30) \leq \frac{20}{30} = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Soru bizden 3030 veya daha fazla olma olasılığı için sınır istemektedir ve XX'in pozitif olduğu belirtilmiştir.
2
Standart iki taraflı Chebyshev eşitsizliğini kullanarak ikinci üst sınırı hesaplayın.
Chebyshev eşitsizliği P(∣X−μ∣≥k)≤Var(X)k2P(|X - \mu| \geq k) \leq \frac{Var(X)}{k^2} şeklindedir. İstenen durum X≥30X \geq 30'dur. Beklenen değer 2020 olduğundan, aradaki mesafe k=30−20=10k = 30 - 20 = 10'dur. P(X≥30)≤P(∣X−20∣≥10)≤75102=75100=34P(X \geq 30) \leq P(|X - 20| \geq 10) \leq \frac{75}{10^2} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} olarak bulunur.
Varyans bilgisi mevcut olduğundan, hedeflenen tek taraflı olasılığın, iki taraflı olasılığın bir alt kümesi olmasından yararlanarak üst sınır bulunabilir.
3
Elde edilen sınırları karşılaştırarak en dar (kısıtlayıcı) olanı belirleyin.
Markov eşitsizliği olasılığın en fazla 2/32/3 (yaklaşık 0.6670.667) olabileceğini, Chebyshev eşitsizliği ise en fazla 3/43/4 (0.750.75) olabileceğini söyler. Her iki kural da matematiksel olarak geçerli olduğundan, olasılık bu iki değerin minimumunu aşamaz. min⁡(2/3,3/4)=2/3\min(2/3, 3/4) = 2/3.
Bir olasılık için birden fazla geçerli üst sınır bulunduğunda, olasılığın alabileceği en büyük değeri bulmak için bu sınırların en küçüğü (en kısıtlayıcı olanı) seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Bir olasılık hesabı için hem Markov hem de Chebyshev eşitsizliklerinin hesaplanıp, en kısıtlayıcı (minimum) üst sınırın seçilmesi mantığı.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bu konudan daha fazla soru