Examkin

Soru

Zorluk: KolayOlasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bir vergi dairesinde günlük olarak işleme alınan toplam başvuru sayısı, beklenen değeri 450450 ve standart sapması 1515 olan bir XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Dağılımın türü hakkında herhangi bir bilgi bulunmadığına göre, Chebyshev eşitsizliği kullanılarak günlük başvuru sayısının 420420 ile 480480 arasında olma olasılığının alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,250,25
  2. B
    0,500,50
  3. 0,750,75Cevap
  4. D
    0,800,80
  5. E
    0,950,95

Cevap

Günlük başvuru sayısının belirtilen aralıkta olma olasılığının alt sınırı 0,750,75 olarak bulunur.
Verilen aralık [420,480][420, 480], beklenen değer olan 450450'den 22 standart sapma (2×15=302 \times 15 = 30) uzaklıktadır. Chebyshev eşitsizliğine göre, herhangi bir rastgele değişkenin beklenen değerinden kk standart sapma uzaklıktaki bir aralıkta bulunma olasılığı en az 1−1/k21 - 1/k^2 kadardır. Burada k=2k=2 olduğu için alt sınır 1−1/4=0,751 - 1/4 = 0,75 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenin parametrelerini ve ilgilenilen aralığı belirleyin.
μ=450\mu = 450, σ=15\sigma = 15. İstenen aralık: [420,480][420, 480]. Bu aralık beklenen değerden ±30\pm 30 birim uzaktadır.
Eşitsizlikteki kk değerini bulmak için merkeze olan uzaklığı belirlemek gerekir.
2
Standart sapma cinsinden uzaklık katsayısı olan kk değerini hesaplayın.
k×σ=30⇒k×15=30⇒k=2k \times \sigma = 30 \Rightarrow k \times 15 = 30 \Rightarrow k = 2.
Chebyshev eşitsizliği standart sapma katları üzerinden olasılık sınırı belirler.
3
Chebyshev formülünü (1−1/k21 - 1/k^2) kullanarak olasılık alt sınırını hesaplayın.
P(∣X−450∣≤30)≥1−122=1−14=0,75P(|X - 450| \leq 30) \geq 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = 0,75.
Dağılım türü bilinmediğinde olasılığın en az ne kadar olacağını bu formül verir.

Anahtar Kavram

Chebyshev eşitsizliği, rastgele değişkenin dağılımı ne olursa olsun (varyansın sonlu olması şartıyla), değişkenin beklenen değerinden belirli bir standart sapma uzaklığında bulunma olasılığının alt sınırını belirler.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bu konudan daha fazla soru