Bir devlet hastanesi acil servisine belirli bir günde başvuran vaka sayısı X rastgele deği… — KPSS İstatistik

Bir devlet hastanesi acil servisine belirli bir günde başvuran vaka sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin beklenen değeri $120$ ve standart sapması $8$ 'dir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde acil servise başvuran vaka sayısının $100$ ile $140$ arasında olma olasılığının alabileceği en küçük değer, Chebyshev eşitsizliğine göre aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{4}{25}$
B
$\frac{3}{5}$
$\frac{21}{25}$ Cevap
D
$\frac{24}{25}$
E
$\frac{6}{7}$

Cevap

İstenen olasılığın alabileceği en küçük değer \frac{21}{25}'tir.

Chebyshev eşitsizliği, rastgele bir değişkenin ortalamasından

k

kadar sapmasının olasılığını

P(|X - \mu| < k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}

formülü ile verir. Ortalama

120

, aralık sınırları

100

140

olduğundan sapma mesafesi

k = 20

'dir. Standart sapma

8

olduğundan varyans

\sigma^2 = 64

'tür. Değerler yerine konduğunda

1 - \frac{64}{400} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen dağılım parametrelerini tanımla.

Beklenen değer (Ortalama):

\mu = 120

, Standart sapma:

\sigma = 8 \implies

Varyans:

\sigma^2 = 64

Chebyshev eşitsizliği ortalama ve varyans değerlerine ihtiyaç duyar.

İstenen olasılık aralığını

|X - \mu| < k

formatında ifade et.

100 < X < 140

aralığı,

120

ortalamasından

20

birimlik bir sapmayı ifade eder. Yani

|X - 120| < 20

olur ve buradan

k = 20

bulunur.

Eşitsizliğin uygulanabilmesi için aralığın ortalamadan simetrik sapma miktarı (k) belirlenmelidir.

Chebyshev eşitsizliğini uygula ve sonucu hesapla.

P(|X - \mu| < k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}

formülünden;

P(|X - 120| < 20) \geq 1 - \frac{64}{20^2} = 1 - \frac{64}{400}

Verilen aralık içinde bulunma olasılığının alt sınırını bulmak için ana teorem uygulanır.

Kesri sadeleştir.

1 - \frac{64}{400} = 1 - \frac{16}{100} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

Sonucu en sade rasyonel sayı biçiminde ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği kullanılarak belirli bir aralıktaki olasılığın alt sınırının hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru