Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bir gümrük müdürlüğünde günlük incelenen beyanname sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin beklenen değeri 4040 ve varyansı 2525'tir.

Bu müdürlükteki günlük toplam işlem yükü (dakika cinsinden), Y=3X+20Y = 3X + 20 eşitliği ile ifade edilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde toplam işlem yükünün kendi beklenen değerinden 4545 dakika veya daha fazla sapma gösterme olasılığı, Chebyshev eşitsizliğine göre en çok kaçtır?

  1. A
    127\frac{1}{27}
  2. 19\frac{1}{9}Cevap
  3. C
    49405\frac{49}{405}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    2581\frac{25}{81}

Cevap

Rastgele seçilen bir gündeki işlem yükünün beklenen değerden 45 dakika veya daha fazla sapma olasılığının üst sınırı \frac{1}{9}'dur.
Doğru cevap, varyansın doğrusal dönüşüm özelliğini (Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX+b) = a^2Var(X)) ve Chebyshev eşitsizliğini (P(∣Y−μY∣≥c)≤Var(Y)c2P(|Y - \mu_Y| \geq c) \leq \frac{Var(Y)}{c^2}) hatasız bir şekilde birleştirerek bulunur. Y=3X+20Y = 3X + 20 için Var(Y)=32×25=225Var(Y) = 3^2 \times 25 = 225'tir. Sapma değeri c=45c = 45 olarak verildiğine göre olasılık üst sınırı 225452=2252025=19\frac{225}{45^2} = \frac{225}{2025} = \frac{1}{9} şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
YY rastgele değişkeninin varyansını hesaplayın.
Var(Y)=Var(3X+20)=32Var(X)=9×25=225Var(Y) = Var(3X + 20) = 3^2 Var(X) = 9 \times 25 = 225
Chebyshev eşitsizliğini YY değişkenine uygulayabilmek için öncelikle YY'nin varyansına ihtiyacımız vardır. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı gereği sabit terim dışlanır ve katsayının karesi alınır.
2
Chebyshev eşitsizliğinin genel formülünü problemi çözecek şekilde kurgulayın.
P(∣Y−μY∣≥c)≤Var(Y)c2P(|Y - \mu_Y| \geq c) \leq \frac{Var(Y)}{c^2} formülünde c=45c = 45 alınır.
Soru, YY'nin beklenen değerinden en az 4545 birim sapma olasılığının üst sınırını istemektedir.
3
Elde edilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak sonucu bulun.
P(∣Y−μY∣≥45)≤225452=2252025=19P(|Y - \mu_Y| \geq 45) \leq \frac{225}{45^2} = \frac{225}{2025} = \frac{1}{9}
Varyans ve sapma miktarı formülde yerine yazıldığında aranan olasılığın maksimum değeri hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği ve Varyansın Doğrusal Dönüşümü
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Eşitsizlikleri (Markov, Chebyshev, Jensen)

Bu konudan daha fazla soru