Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir kamu kurumunda yürütülen vatandaş memnuniyeti anketinde, iki farklı hizmet birimine yönelik performans puanları XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu iki değişkenin birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir. XX değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu fX(x)=2xf_X(x) = 2x (0<x<10 < x < 1) ve YY değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu fY(y)=3y2f_Y(y) = 3y^2 (0<y<10 < y < 1) olarak verildiğine göre, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y)f(x,y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. f(x,y)=6xy2,0<x<1,0<y<1f(x,y) = 6xy^2, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1Cevap
  2. B
    f(x,y)=2x+3y2,0<x<1,0<y<1f(x,y) = 2x + 3y^2, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1
  3. C
    f(x,y)=6xy2,0<x<y<1f(x,y) = 6xy^2, \quad 0 < x < y < 1
  4. D
    f(x,y)=5xy,0<x<1,0<y<1f(x,y) = 5xy, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1
  5. E
    f(x,y)=1,0<x<1,0<y<1f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olan 6xy26xy^2 fonksiyonudur ve tanım aralığı 0<x<10 < x < 1 ile 0<y<10 < y < 1 bölgelerinin birleşimidir.
Bağımsızlık tanımı gereği, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y)f(x,y), marjinal yoğunluk fonksiyonları fX(x)f_X(x) ve fY(y)f_Y(y)'nin çarpımına eşittir. Bu soruda 2x2x ile 3y23y^2 çarpıldığında 6xy26xy^2 elde edilir. Ayrıca bağımsızlık için tanım aralığının da değişkenlerin birbirinden bağımsız sınırlarına (0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1) sahip olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık şartını belirlemek
f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)
İki rastgele değişken bağımsız ise ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.
2
Marjinal fonksiyonları çarpmak
(2x)⋅(3y2)=6xy2(2x) \cdot (3y^2) = 6xy^2
Verilen fX(x)=2xf_X(x) = 2x ve fY(y)=3y2f_Y(y) = 3y^2 ifadeleri çarpılarak ortak fonksiyon elde edilir.
3
Tanım aralığını (destek kümesini) kontrol etmek
0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1
Bağımsızlık durumunda, ortak fonksiyonun tanımlı olduğu bölge değişkenlerin kendi sınırlarının kartezyen çarpımı olmalıdır (dikdörtgensel bölge).

Anahtar Kavram

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerek ve yeter şart, ortak yoğunluk fonksiyonunun marjinal yoğunlukların çarpımı şeklinde yazılabilmesidir (f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)).

İpuçları

1
Bağımsızlık durumunda f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) formülünü hatırlayın.
2
Verilen iki fonksiyonu çarparak katsayıları ve değişkenleri kontrol edin.
3
Bağımsız değişkenlerin tanım aralığının bir dikdörtgen (sınırların birbirinden bağımsız olduğu bölge) olması gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin sınırları 0<x<y<10 < x < y < 1 şeklinde verildiğinde bağımsızlığın neden bozulacağını integral alarak kanıtlamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı