Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOlasılık Kuralları ve Teoremleri

Bir kamu kurumunun denetim birimi, incelediği dosyaları A (Yüksek Riskli), B (Orta Riskli) ve C (Düşük Riskli) olmak üzere üç farklı kategoriye ayırmaktadır.

Tüm dosyaların %30'u A, %50'si B ve %20'si C kategorisindedir. Yapılan geçmiş denetimlere göre, bu kategorilerdeki dosyalarda mevzuata aykırılık tespit edilme olasılıkları sırasıyla %10, %4 ve %5 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen ve incelenen bir dosyada mevzuata aykırılık tespit edildiği bilindiğine göre, bu dosyanın B (Orta Riskli) kategorisine ait olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    125\frac{1}{25}
  2. B
    350\frac{3}{50}
  3. C
    419\frac{4}{19}
  4. 13\frac{1}{3}Cevap
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Rastgele seçilen mevzuata aykırı bir dosyanın B (Orta Riskli) kategorisinde olma olasılığı 13\frac{1}{3} tür.
Bayes teoremine göre aranan olasılık P(B∣M)=P(B∩M)P(M)P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} bağıntısı ile hesaplanır. BB kategorisinden gelip aynı zamanda mevzuata aykırı olma olasılığı 0,50×0,04=0,020,50 \times 0,04 = 0,02'dir. Herhangi bir dosyanın aykırı olma toplam olasılığı ise (0,30×0,10)+(0,50×0,04)+(0,20×0,05)=0,06(0,30 \times 0,10) + (0,50 \times 0,04) + (0,20 \times 0,05) = 0,06 olarak hesaplanır. İlgili kesişim değerinin, toplam olasılık değerine oranlanmasıyla elde edilen sonuç 0,020,06=13\frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Olayların ve verilen marjinal ile koşullu olasılıkların matematiksel olarak tanımlanması.
P(A)=0,30P(A) = 0,30, P(B)=0,50P(B) = 0,50, P(C)=0,20P(C) = 0,20. Aykırılık olayına MM denilirse; P(M∣A)=0,10P(M|A) = 0,10, P(M∣B)=0,04P(M|B) = 0,04, P(M∣C)=0,05P(M|C) = 0,05 olarak yazılır.
Bayes teoremini doğru biçimde uygulayabilmek için formülde kullanılacak tüm bileşenlerin açıkça listelenmesi gerekir.
2
Toplam Olasılık Teoremi kullanılarak rastgele bir dosyada mevzuata aykırılık bulunma olasılığının (P(M)P(M)) hesaplanması.
P(M)=P(A)⋅P(M∣A)+P(B)⋅P(M∣B)+P(C)⋅P(M∣C)=(0,30⋅0,10)+(0,50⋅0,04)+(0,20⋅0,05)=0,03+0,02+0,01=0,06P(M) = P(A)\cdot P(M|A) + P(B)\cdot P(M|B) + P(C)\cdot P(M|C) = (0,30 \cdot 0,10) + (0,50 \cdot 0,04) + (0,20 \cdot 0,05) = 0,03 + 0,02 + 0,01 = 0,06.
Koşullu olasılık oranında paydayı (örnek uzayın yeni boyutunu) oluşturmak için ilgili tüm durumların ağırlıklı toplamına ihtiyaç vardır.
3
Bayes Teoremi yardımıyla P(B∣M)P(B|M) koşullu olasılığının elde edilmesi.
P(B∣M)=P(B∩M)P(M)=P(B)⋅P(M∣B)P(M)=0,020,06=13P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{P(B)\cdot P(M|B)}{P(M)} = \frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}.
Dosyanın mevzuata aykırı olduğu bilindiği (koşul) için, B kategorisine ait olma ihtimali bu iki değerin oranlanmasıyla kesin olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kuralları ve Teoremleri

Bu konudan daha fazla soru