Bir olasılık uzayında tanımlı K, L ve M olayları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir: • K … — KPSS İstatistik

Bir olasılık uzayında tanımlı $K$ , $L$ ve $M$ olayları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• $K$ ile $L$ olayları bağımsızdır.
• $L$ ile $M$ olayları ayrık olaylardır.
• $P(K) = \frac{2}{5}$
• $P(L) = \frac{1}{2}$
• $P(M) = \frac{3}{10}$
• $P(K \cup M) = \frac{3}{5}$

Buna göre, $K$ veya $M$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, $L$ olayının da gerçekleşmiş olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{3}$ Cevap
C
$\frac{2}{5}$
D
$\frac{29}{60}$
E
$\frac{7}{12}$

Cevap

\frac{1}{3}

Soruda istenen olasılık formülü

P(L \mid K \cup M)

'dir. Koşullu olasılık tanımına göre bu ifade

\frac{P(L \cap (K \cup M))}{P(K \cup M)}

şeklinde açılır. Kümelerdeki dağılma özelliğinden pay kısmı

P((L \cap K) \cup (L \cap M))

olur.

L

M

ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boş kümedir ve

P(L \cap M) = 0

'dır.

K

L

olayları ise bağımsız olduğundan

P(L \cap K) = P(L) \times P(K) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

olarak hesaplanır. Payda değeri olan

P(K \cup M) = \frac{3}{5}

soruda doğrudan verilmiştir. İfadeler oranlandığında

\frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

İstenen olasılığı koşullu olasılık formülü ile ifade etme

P(L \mid K \cup M) = \frac{P(L \cap (K \cup M))}{P(K \cup M)}

Soruda '

K

veya

M

gerçekleştiğinde

L

'nin gerçekleşme olasılığı' sorulduğu için koşullu olasılık kuralları gereklidir.

Payda kısmındaki koşul olasılığını belirleme

P(K \cup M) = \frac{3}{5}

Soruda

K

veya

M

'nin birleşim olasılığı (

K \cup M

) doğrudan

\frac{3}{5}

olarak verilmiştir.

Pay kısmındaki kesişim işlemini kümelerde dağılma özelliği kullanarak açma

P(L \cap (K \cup M)) = P((L \cap K) \cup (L \cap M))

Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliğini kullanmak hesaplamayı alt bileşenlere ayırır.

Ayrık ve bağımsız olay özelliklerini uygulayarak payı hesaplama

L

M

ayrık olduğu için

P(L \cap M) = 0

'dır.

K

L

bağımsız olduğu için

P(L \cap K) = P(L) \times P(K) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

'tir. İki alt olay ayrık olduğundan pay

\frac{1}{5} + 0 = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

Ayrık (mutually exclusive) olayların kesişim olasılığı sıfırdır. Bağımsız olayların kesişim olasılığı ise marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

Hesaplanan değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyma

P(L \mid K \cup M) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}

Pay ve payda değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrık Olaylar ve Koşullu Olasılık Formülleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru