Examkin

Soru

Zorluk: ZorOlasılık Kuralları ve Teoremleri

Bir bölgede belirli bir bulaşıcı hastalığın görülme oranı %5 olarak saptanmıştır. Bu hastalığın tespiti için geliştirilen iki farklı tarama testi, kişilerin hastalık durumları (hasta olup olmamaları) bilindiğinde birbirinden bağımsız olarak sonuç üretmektedir.

- Birinci testin, hastaları doğru teşhis etme olasılığı %80, sağlıklı kişilere yanlışlıkla pozitif sonuç verme olasılığı %10'dur.
- İkinci testin, hastaları doğru teşhis etme olasılığı %90, sağlıklı kişilere yanlışlıkla pozitif sonuç verme olasılığı %20'dir.

Rastgele seçilen bir kişiye bu iki test aynı anda uygulanmış ve her iki testin de sonucu pozitif çıkmıştır.

Buna göre, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    3637\frac{36}{37}
  2. B
    914\frac{9}{14}
  3. 3655\frac{36}{55}Cevap
  4. D
    1825\frac{18}{25}
  5. E
    9250\frac{9}{250}

Cevap

Doğru cevap 3655\frac{36}{55} seçeneğidir. Bayes Teoremi ve koşullu bağımsızlık özelliklerinden yararlanarak her iki testin de pozitif çıktığı durumun koşullu olasılığı doğru şekilde elde edilir.
Soruda her iki testin pozitif çıktığı bilindiğine göre, kişinin hasta olma koşullu olasılığı Bayes Teoremi ile hesaplanmalıdır. İstenen değer P(H∣T1∩T2)P(H | T_1 \cap T_2)'dir. Formülde pay kısmı, kişinin hasta olması ve her iki testin pozitif çıkması durumudur: P(T1∩T2∣H)⋅P(H)=0,80⋅0,90⋅0,05=0,036P(T_1 \cap T_2 | H) \cdot P(H) = 0,80 \cdot 0,90 \cdot 0,05 = 0,036. Payda kısmı ise toplam olasılıktır: Hasta olup testleri pozitif çıkanlar (0,0360,036) ile Sağlıklı olup testleri pozitif çıkanların (Yanlış Pozitif) toplamıdır. Yanlış pozitif kısmı P(T1∩T2∣H′)⋅P(H′)=0,10⋅0,20⋅0,95=0,019P(T_1 \cap T_2 | H') \cdot P(H') = 0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,95 = 0,019 olarak hesaplanır. Toplam olasılık 0,036+0,019=0,0550,036 + 0,019 = 0,055 olur. İki değer birbirine oranlandığında 0,0360,055=3655\frac{0,036}{0,055} = \frac{36}{55} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları ve olasılıklarını matematiksel sembollerle tanımlayın.
HH: Hasta, P(H)=0,05P(H) = 0,05, P(H′)=0,95P(H') = 0,95. T1,T2T_1, T_2: Testlerin pozitif çıkması.
Sözel problemi olasılık modeline dökmek karmaşıklığı giderir.
2
Hastalık durumuna göre her iki testin aynı anda pozitif çıkma olasılıklarını (koşullu bağımsızlığı kullanarak) hesaplayın.
P(T1∩T2∣H)=0,80⋅0,90=0,72P(T_1 \cap T_2 | H) = 0,80 \cdot 0,90 = 0,72 ve P(T1∩T2∣H′)=0,10⋅0,20=0,02P(T_1 \cap T_2 | H') = 0,10 \cdot 0,20 = 0,02.
Testlerin, hastalığın varlığı veya yokluğu bilindiğinde birbirinden bağımsız sonuç ürettiği soruda belirtilmiştir.
3
Toplam olasılık teoremi ile rastgele bir kişinin iki testten de pozitif sonuç alma olasılığını (paydayı) bulun.
P(T1∩T2)=P(T1∩T2∣H)⋅P(H)+P(T1∩T2∣H′)⋅P(H′)=(0,72⋅0,05)+(0,02⋅0,95)=0,036+0,019=0,055P(T_1 \cap T_2) = P(T_1 \cap T_2 | H) \cdot P(H) + P(T_1 \cap T_2 | H') \cdot P(H') = (0,72 \cdot 0,05) + (0,02 \cdot 0,95) = 0,036 + 0,019 = 0,055.
Bayes Teoremi'nin paydasını oluşturan tüm olası senaryoları birleştirmek gereklidir.
4
Bayes Teoremi'ni uygulayarak iki pozitif test sonucuna sahip kişinin gerçekten hasta olma olasılığını hesaplayın.
P(H∣T1∩T2)=0,0360,055=3655P(H | T_1 \cap T_2) = \frac{0,036}{0,055} = \frac{36}{55}.
Elde edilen yeni bilgi (T1∩T2T_1 \cap T_2) ışığında ilk baştaki hastalık olasılığını (HH) güncellemek için Bayes Teoremi şarttır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi, Koşullu Bağımsızlık ve Toplam Olasılık
Bu soruyu puanla

Konular

Olasılık Kuralları ve Teoremleri

Bu konudan daha fazla soru