Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtak Beklenen Değer ve Momentler

Bir sunucu sisteminde işlenen iki aşamalı bir görevin birinci aşamasının tamamlanma süresi XX saat ve her iki aşamanın toplam tamamlanma süresi YY saat olmak üzere, bu sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y)={2,0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, XX ve YY rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, Cov(X,Y)Cov(X,Y), aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 136\frac{1}{36}Cevap
  2. B
    −136-\frac{1}{36}
  3. C
    00
  4. D
    14\frac{1}{4}
  5. E
    518\frac{5}{18}

Cevap

İşlemler sonucunda doğru kovaryans değeri 136\frac{1}{36} olarak bulunur.
Kovaryans hesabı standart olarak Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] formülü ile yapılır. Verilen sınırlar (0<x<y<10 < x < y < 1) dikkate alınarak E[XY]=14E[XY] = \frac{1}{4} hesaplanır. Marjinal yoğunluk fonksiyonları kullanılarak E[X]=13E[X] = \frac{1}{3} ve E[Y]=23E[Y] = \frac{2}{3} bulunur. Bu değerler formülde yerine konulduğunda 14−(13⋅23)=136\frac{1}{4} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}) = \frac{1}{36} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak beklenen değerin (E[XY]E[XY]) sınır koşulları dikkate alınarak hesaplanması
E[XY]=∫01∫0yxy(2)dxdy=∫01y[x2]0ydy=∫01y3dy=14E[XY] = \int_0^1 \int_0^y xy(2) dx dy = \int_0^1 y [x^2]_0^y dy = \int_0^1 y^3 dy = \frac{1}{4}
Kovaryans formülündeki ilk terim olan E[XY]E[XY] değerini bulmak için 0<x<y<10 < x < y < 1 sınırları üzerinden integral alınmalıdır.
2
XX'in marjinal dağılımı ve beklenen değerinin (E[X]E[X]) bulunması
fX(x)=∫x12dy=2(1−x)f_X(x) = \int_x^1 2 dy = 2(1-x). Ardından, E[X]=∫01x(2−2x)dx=[x2−2x33]01=13E[X] = \int_0^1 x(2-2x) dx = [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}
Kovaryans için gereken E[X]E[X] değerini bulmak amacıyla, önce YY'ye göre integral alınarak marjinal fonksiyon bulunmalı, sonra beklenen değer hesaplanmalıdır.
3
YY'nin marjinal dağılımı ve beklenen değerinin (E[Y]E[Y]) bulunması
fY(y)=∫0y2dx=2yf_Y(y) = \int_0^y 2 dx = 2y. Ardından, E[Y]=∫01y(2y)dy=[2y33]01=23E[Y] = \int_0^1 y(2y) dy = [\frac{2y^3}{3}]_0^1 = \frac{2}{3}
Aynı şekilde E[Y]E[Y] değerini bulmak için, XX'e göre sınırları (00 ile yy arası) dahilinde integral alınarak marjinal fonksiyon ve beklenen değer elde edilmelidir.
4
Kovaryansın formül kullanılarak elde edilmesi
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=14−(13⋅23)=14−29=136Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{4} - \frac{2}{9} = \frac{1}{36}
Bulunan tüm beklenen değerler Cov(X,Y)Cov(X,Y) formülünde yerine konularak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Ortak Beklenen Değer ve Kovaryans Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Beklenen Değer ve Momentler