Sürekli X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmi… — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{6}{5}(x^2 + y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans ( $Cov(X,Y)$ ) kaçtır?

X

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans

-\frac{1}{100}

değerine eşittir.

Kovaryans değeri,

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

genel formülü ile hesaplanır. Verilen ortak yoğunluk fonksiyonu üzerinden sırasıyla

E[X] = \frac{3}{5}

E[Y] = \frac{3}{5}

E[XY] = \frac{7}{20}

olarak bulunur. Bu değerler formülde yerine konduğunda sonuç

\frac{7}{20} - \frac{9}{25} = -\frac{1}{100}

olarak elde edilir.

X

'in beklenen değeri (

E[X]

) hesaplanır.

E[X] = \int_0^1 \int_0^1 x \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{1}{4} + \frac{y}{2} \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{5}

bulunur.

Kovaryans formülünde kullanmak için marjinal beklenen değerlere ihtiyaç vardır.

Y

'nin beklenen değeri (

E[Y]

) hesaplanır.

E[Y] = \int_0^1 \int_0^1 y \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{y}{3} + y^2 \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) = \frac{3}{5}

bulunur.

Kovaryans hesaplamasında

E[Y]

değeri gereklidir.

X

Y

'nin ortak beklenen değeri (

E[XY]

) hesaplanır.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy \cdot \frac{6}{5}(x^2 + y) dx dy = \frac{6}{5} \int_0^1 \left( \frac{y}{4} + \frac{y^2}{2} \right) dy = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} \right) = \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{24} = \frac{7}{20}

olarak elde edilir.

Kovaryans tanımı gereği değişkenlerin çarpımının beklenen değeri bulunmalıdır.

Kovaryans formülü uygulanır.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{7}{20} - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{35}{100} - \frac{36}{100} = -\frac{1}{100}

bulunur.

Kovaryans, ortak beklenen değer ile marjinal beklenen değerlerin çarpımının farkıdır.

Ortak Beklenen Değer ve Kovaryans

Soru