Bir tedarik zinciri sisteminde, iki farklı depodan yapılan günlük sevkiyat miktarları (ton… — KPSS İstatistik

Bir tedarik zinciri sisteminde, iki farklı depodan yapılan günlük sevkiyat miktarları (ton cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{4}(x + 2y), & 0 < x < 2 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu iki depodan yapılan sevkiyat miktarlarının çarpımının beklenen değeri, $E[XY]$ , kaçtır?

A
$\frac{7}{12}$
$\frac{2}{3}$ Cevap
C
$\frac{49}{72}$
D
$\frac{5}{6}$
E
$\frac{7}{6}$

Cevap

İki depodan yapılan sevkiyat miktarlarının çarpımının beklenen değeri olan

E[XY]

\frac{2}{3}

olarak bulunmalıdır.

Verilen sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden

E[XY]

değerini bulmak için tanımlı sınırlar dahilinde

xy \cdot f(x,y)

ifadesinin çift katlı integrali alınmalıdır.

x \in (0,2)

y \in (0,1)

aralığında

\frac{1}{4} \int_0^1 \int_0^2 (x^2y + 2xy^2) dx dy

işleminin sonucu önce

x

'e, ardından

y

'ye göre integral alınarak adım adım hesaplandığında doğru cevap olan

\frac{2}{3}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Beklenen değer için çift katlı integral formülünü x ve y'nin tanımlı sınırlarıyla birlikte kurmak.

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy \left( \frac{1}{4}(x+2y) \right) dx dy

Sürekli iki boyutlu rastgele değişkenlerde

E[g(X,Y)]

değeri, ilgilenilen fonksiyonun ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılarak tüm uzay üzerinden integralinin alınmasıyla bulunur.

İntegrali çözmek için parantezi açarak önce x değişkenine göre iç integrali hesaplamak.

\int_{0}^{2} (x^2y + 2xy^2) dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + x^2y^2 \right]_0^2 = \frac{8}{3}y + 4y^2

Çift katlı integrallerde içten dışa doğru işlem yapılır. x'e göre integral alınırken y değişkeni sabit bir sayı gibi muamele görür.

Elde edilen ifadeyi olasılık yoğunluk fonksiyonunun katsayısıyla birlikte y değişkenine göre dış integrale tabi tutmak.

\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \left( \frac{8}{3}y + 4y^2 \right) dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{4}{3}y^2 + \frac{4}{3}y^3 \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left( \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{2}{3}

Dış integral y'nin tanımlı olduğu

(0,1)

aralığında hesaplanarak sürecin sonlandırılması ve nihai beklenen değerin elde edilmesi sağlanır.

Anahtar Kavram

Sürekli İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Ortak Beklenen Değer

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular