Bir yenilenebilir enerji tesisinde, güneş panellerinden elde edilen günlük enerji üretim v… — KPSS İstatistik

Bir yenilenebilir enerji tesisinde, güneş panellerinden elde edilen günlük enerji üretim verimliliği $X$ ve rüzgar türbinlerinden elde edilen üretim verimliliği $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Her iki verimlilik değeri de $0$ ile $1$ arasında oranlar olarak ifade edilmektedir.

Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} x + \frac{3}{2}y^2, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu iki enerji kaynağının verimlilik oranlarının ortak beklenen değeri (çarpımlarının beklenen değeri), $E[XY]$ , aşağıdakilerden hangisidir?

A
$-\frac{1}{96}$
$\frac{17}{48}$ Cevap
C
$\frac{35}{96}$
D
$\frac{7}{12}$
E
$\frac{5}{8}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{17}{48}

değeridir.

Ortak beklenen değer (

E[XY]

), değişkenlerin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonuyla çarpılarak değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklarda integre edilmesiyle bulunur. Bu işlem çift katlı integral kuralına göre adım adım yapıldığında, sonuç

\frac{17}{48}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Ortak beklenen değer tanımını oluştur

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \cdot f(x,y) dx dy

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda beklenen değer hesabı, ilgilenilen fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılarak tüm tanım aralığında integralleri alınarak yapılır.

Fonksiyonu integral içine yerleştir ve dağıt

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \left(x + \frac{3}{2}y^2\right) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left(x^2y + \frac{3}{2}xy^3\right) dx dy

İntegrali alabilmek için cebirsel ifadeyi basit terimler haline getirmek gerekir.

İçteki integrali

x

'e göre çöz (ve

y

'yi sabit kabul et)

\int_{0}^{1} \left(x^2y + \frac{3}{2}xy^3\right) dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + \frac{3}{4}x^2y^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}y + \frac{3}{4}y^3

Çok katlı integrallerde içeriden dışarıya doğru sırayla integral alınır.

Dıştaki integrali

y

'ye göre çöz

\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{3}y + \frac{3}{4}y^3\right) dy = \left[ \frac{y^2}{6} + \frac{3}{16}y^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} + \frac{3}{16}

Kalan tek değişkenli ifade integrallenerek kesin beklenen değer sonucuna ulaşılır.

Kesirleri topla ve sonucu sadeleştir

\frac{1}{6} + \frac{3}{16} = \frac{8}{48} + \frac{9}{48} = \frac{17}{48}

Payda eşitlemesi yapılarak nihai matematiksel değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak Beklenen Değer

İpuçları

E[XY]

değerini bulmak için genel tanım gereği

\int \int xy \cdot f(x,y) dx dy

işlemini yapmalısınız.

İç integralde dağıtma işlemini uyguladığınızda

\int_0^1 (x^2y + \frac{3}{2}xy^3) dx

ifadesini elde edip, bunu

x

'e göre çözmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Bu iki rastgele değişkenin kovaryansını bularak, aralarındaki lineer ilişkinin yönünü analiz ediniz.

Alternatif Yöntem

Önce marjinal olasılık fonksiyonları olan

f_X(x)

f_Y(y)

'yi bularak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını test edebilirsiniz. Bağımlı olduklarını (yani

f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)

) gördüğünüzde, mecburen tanıma dönüp çift katlı integrali almanız gerektiğini teyit edersiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru