Bir sigorta şirketinde birbiriyle ilişkili iki farklı risk türünün gerçekleşme oranları sı… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinde birbiriyle ilişkili iki farklı risk türünün gerçekleşme oranları sırasıyla $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleriyle modellenmektedir. Analizler sonucunda, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu belirlenmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1 \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Kurumun toplam risk değerlendirme raporunda kullanılmak üzere, $X$ ve $Y$ risklerinin çarpımının beklenen değeri ( $E[XY]$ ) hesaplanmak istenmektedir.

Buna göre, bu beklenen değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{2}{15}$ Cevap
B
$\frac{4}{25}$
C
$-\frac{2}{75}$
D
$\frac{2}{5}$
E
$\frac{8}{3}$

Cevap

Risklerin çarpımının beklenen değeri

\frac{2}{15}

olarak hesaplanır.

Ortak beklenen değer formülü olan

E[XY] = \int\int xy f(x,y) dy dx

uygulandığında, bölge sınırları dikkate alınarak hesaplanan

\int_0^1 \int_0^{1-x} 24x^2y^2 dy dx

integrali

\frac{2}{15}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

E[XY]

formülünü ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu için sınırlarıyla birlikte kurmak.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^{1-x} (xy) \cdot (24xy) dy dx

Sürekli ortak dağılımlarda çarpımın beklenen değeri tanımıdır ve

y

sınırları

x

'e bağlıdır (

y \le 1-x

İçteki integrali

y

değişkenine göre hesaplamak.

\int_0^1 24x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} dx = \int_0^1 8x^2 (1-x)^3 dx

Çok katlı integrallerde içten dışa doğru işlem yapılır.

Kalan tek değişkenli integrali çözmek.

8 \int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) dx = 8 \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} \right) = 8 \left( \frac{1}{60} \right) = \frac{2}{15}

Polinomun integrali alınarak (veya Beta fonksiyonu kullanılarak) beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak Beklenen Değer Formülü ve Çok Katlı İntegraller

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular