Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Modeller (AR)

Bir veri bilimci, aylık bazda kaydedilen bir endeks serisini durağanlaştırdıktan sonra modelleme aşamasına geçmiştir. Yapılan analizde serinin örneklem otokorelasyon fonksiyonu (ACF) değerlerinin dalgalanarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) değerlerinin ise ilk iki gecikmede istatistiksel olarak sıfırdan farklı olduğu ve 3. gecikmeden itibaren güven bantları içine girdiği görülmüştür.

Modelin Yule-Walker denklemleri kullanılarak tahmin edilen ilk iki otokorelasyon katsayısı ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,1\rho_2 = 0,1 olarak hesaplanmıştır.

Bu bilgilere göre, belirlenen zaman serisi modeli için sırasıyla birinci ve ikinci otoregresif katsayılar (ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ϕ1=0,5\phi_1 = 0,5 ; ϕ2=−0,15\phi_2 = -0,15
  2. B
    ϕ1=0,45\phi_1 = 0,45 ; ϕ2=0,1\phi_2 = 0,1
  3. C
    ϕ1=0,5\phi_1 = 0,5 ; ϕ2=0,1\phi_2 = 0,1
  4. ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 ; ϕ2=−0,2\phi_2 = -0,2Cevap
  5. E
    ϕ1=0,4\phi_1 = 0,4 ; ϕ2=0,2\phi_2 = 0,2

Cevap

Modelin otoregresif katsayıları ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 ve ϕ2=−0,2\phi_2 = -0,2'dir.
PACF grafiğinin ikinci gecikmeden sonra güven sınırları içine girmesi, sürecin AR(2) olduğuna işaret eder. AR(2) modeli için kurulan Yule-Walker denklemlerinde (ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2), soruda verilen ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,1\rho_2 = 0,1 değerleri yerlerine yazıldığında iki bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir. Sistem çözüldüğünde birinci otoregresif parametre ϕ1=0,6\phi_1 = 0,6 ve ikinci otoregresif parametre ϕ2=−0,2\phi_2 = -0,2 olarak net şekilde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin ACF ve PACF davranışlarından uygun modelin (p, q derecelerinin) belirlenmesi.
PACF grafiğinin 2. gecikmeden sonra aniden kesilmesi (sıfırdan farksız olması) ve ACF'nin dalgalanarak sönümlenmesi, sürecin AR(2) modeli olduğuna işaret eder.
Yule-Walker denklemlerinin doğru dereceden kurulabilmesi için öncelikle sürecin yapısının tespit edilmesi zorunludur.
2
AR(2) modeli için Yule-Walker denklemlerinin oluşturulması.
1. Denklem: ρ1=ϕ1+ϕ2ρ1\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1
2. Denklem: ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2
Durağan bir AR(p) sürecinde otoregresif parametreler (ϕ\phi) ile otokorelasyon katsayıları (ρ\rho) arasındaki doğrusal yapı bu sistemle ifade edilir.
3
Verilen otokorelasyon değerlerini (ρ1=0,5\rho_1 = 0,5 ve ρ2=0,1\rho_2 = 0,1) denklemlerde yerine koyarak doğrusal denklem sistemini çözmek.
İlk denklemden: 0,5=ϕ1+0,5ϕ2⇒ϕ1=0,5−0,5ϕ20,5 = \phi_1 + 0,5 \phi_2 \Rightarrow \phi_1 = 0,5 - 0,5 \phi_2
İkinci denklemde yerine yazılırsa: 0,1=0,5(0,5−0,5ϕ2)+ϕ20,1 = 0,5(0,5 - 0,5 \phi_2) + \phi_2
0,1=0,25−0,25ϕ2+ϕ2⇒−0,15=0,75ϕ2⇒ϕ2=−0,20,1 = 0,25 - 0,25 \phi_2 + \phi_2 \Rightarrow -0,15 = 0,75 \phi_2 \Rightarrow \phi_2 = -0,2
İlk denkleme geri dönüldüğünde: ϕ1=0,5−0,5(−0,2)=0,6\phi_1 = 0,5 - 0,5(-0,2) = 0,6 bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözülerek modelin popülasyon otoregresif parametrelerine matematiksel olarak ulaşılır.

Anahtar Kavram

AR Modellerinde Model Belirleme ve Yule-Walker Denklemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Modeller (AR)

Bu konudan daha fazla soru