Bir veri analisti, sıfır etrafında simetrik hatalar üreten bir sistemin ölçüm sapmalarını … — KPSS İstatistik

Bir veri analisti, sıfır etrafında simetrik hatalar üreten bir sistemin ölçüm sapmalarını incelemektedir. Ölçüm sapmaları ( $X_i$ ), $(-\theta, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma uymaktadır ( $\theta > 0$ ). Bu dağılımdan alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem için yeterli istatistik $Y = \max_{1 \le i \le n} |X_i|$ olarak elde edilmiştir.

$\theta$ parametresinin güven aralığını oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu ( $Q$ ) ve bu fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_Q(q)$ ) belirlenmek istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ için doğru bir eksen fonksiyonu ve onun olasılık yoğunluk fonksiyonudur?

$Q = \frac{Y}{\theta}$ bir eksen fonksiyonudur ve $f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)$ şeklindedir.Cevap
B
$Q = Y$ bir eksen fonksiyonudur ve $f_Q(q) = \frac{n q^{n-1}}{\theta^n} \quad (0 < q < \theta)$ şeklindedir.
C
$Q = \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}$ bir eksen fonksiyonudur ve standart normal ( $Z$ ) dağılıma uyar.
D
$Q = Y - \theta$ bir eksen fonksiyonudur ve $f_Q(q) = \frac{n(q+\theta)^{n-1}}{\theta^n} \quad (-\theta < q < 0)$ şeklindedir.
E
$Q = \frac{Y}{\theta}$ bir eksen fonksiyonudur ve $f_Q(q) = 1 \quad (0 < q < 1)$ şeklindedir.

Cevap

Q = \frac{Y}{\theta}

bir eksen fonksiyonudur ve

f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)

şeklindedir.

Bir eksen (pivot) fonksiyonu, kendisi bilinmeyen parametreyi içermesine rağmen dağılımı parametreden bağımsız olan bir rassal değişkendir.

Y = \max |X_i|

istatistiğinin CDF'i

(y/\theta)^n

'dir.

Q = Y/\theta

dönüştürmesi yapıldığında olasılık sınırları

(0,1)

arasına çekilir ve kümülatif dağılım

q^n

olur. Bu fonksiyonun türevi olan yoğunluk fonksiyonu

n q^{n-1}

, parametre

\theta

'dan bağımsız olduğu için eksen fonksiyonu tanımını karşılar.

Adım Adım Çözüm

Her bir gözlemin mutlak değerinin dağılımını belirleme.

X_i \sim U(-\theta, \theta)

olduğu için

W_i = |X_i|

değişkeni

(0, \theta)

aralığında sürekli düzgün dağılır. Kümülatif fonksiyon

F_{W}(w) = \frac{w}{\theta}

olur.

Yeterli istatistik olan maksimum değerin (

Y = \max |X_i|

) dağılımını bulabilmek için öncelikle tekil gözlemlerin mutlak sapmalarının dağılımı gereklidir.

Yeterli istatistik

Y

'nin kümülatif dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplama.

Y = \max_{1 \le i \le n} W_i

olduğu için

F_Y(y) = [F_{W}(y)]^n = \left(\frac{y}{\theta}\right)^n, \quad 0 \le y \le \theta

olarak bulunur.

Sıra istatistikleri kuralı gereği, birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı değişkenlerin maksimumunun CDF'i, tekil CDF'lerin çarpımına eşittir.

Eksen fonksiyonu (

Q

) adayının bağımsızlığını test etme ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Q = \frac{Y}{\theta}

dönüşümü yapıldığında

F_Q(q) = P(Y/\theta \le q) = P(Y \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^n = q^n

elde edilir. Türevi alındığında

f_Q(q) = n q^{n-1} \quad (0 < q < 1)

bulunur.

Elde edilen yoğunluk fonksiyonu tamamen

n

(örneklem çapı) ve

q

değerine bağlıdır; bilinmeyen

\theta

parametresini içermediği için geçerli bir eksen fonksiyonudur.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru