Bir araştırmacı, bir e-ticaret platformunda satılan bir ürünün fiyatı (X) ile günlük satış… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bir e-ticaret platformunda satılan bir ürünün fiyatı ( $X$ ) ile günlük satış miktarı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek için basit doğrusal regresyon analizi yapmıştır.

Analizde $n = 18$ günlük veri kullanılmış ve Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) $144$ olarak hesaplanmıştır. Belirli bir fiyat düzeyi ( $X_0$ ) için, günlük ortalama satış miktarının kestirimine ilişkin standart hata ( $SE_{\hat{Y}_{ort}}$ ) $4$ birim olarak bulunmuştur.

Buna göre, aynı fiyat düzeyi ( $X_0$ ) için bireysel bir günün satış miktarına ilişkin tahmin standart hatası ( $SE_{\hat{Y}_{birey}}$ ) kaçtır ve bireysel tahmin aralığının genişliği ile ortalama kestirim aralığının genişliği arasındaki ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir? (Her iki aralık için de aynı güven düzeyi kullanılacaktır.)

A
Tahmin standart hatası $\sqrt{7}$ 'dir; Bireysel tahmin aralığı, ortalama kestirim aralığından daha dardır.
B
Tahmin standart hatası $2\sqrt{6}$ 'dır; Bireysel tahmin aralığı, ortalama kestirim aralığından daha geniştir.
Tahmin standart hatası $5$ 'tir; Bireysel tahmin aralığı, ortalama kestirim aralığından daha geniştir.Cevap
D
Tahmin standart hatası $5$ 'tir; Bireysel tahmin aralığı F-dağılımı kullanılarak hesaplandığı için ortalama kestirim aralığından daha dardır.
E
Tahmin standart hatası $25$ 'tir; Bireysel tahmin aralığı, ortalama kestirim aralığından daha geniştir.

Cevap

Tahmin standart hatası

5

'tir ve bireysel tahmin aralığı her zaman ortalama kestirim aralığından daha geniştir.

Doğru yanıt, regresyon standart hatasının karesi ile ortalama kestirim varyansının toplanması prensibine dayanır. Basit doğrusal regresyonda bireysel bir değerin tahmin varyansı, ortalama değerin kestirim varyansı ile hata teriminin varyansının (

S_e^2

) toplamına eşittir (

Var(\hat{Y}_{birey}) = Var(\hat{Y}_{ort}) + S_e^2

). Hata Kareler Toplamı

144

ve serbestlik derecesi

n-2 = 16

olduğundan

S_e^2 = 144/16 = 9

'dur. Ortalama kestirim standart hatası

4

olarak verildiğinden varyansı

16

'dır. Bu durumda bireysel tahmin varyansı

16 + 9 = 25

ve standart hatası

\sqrt{25} = 5

olarak bulunur. Tahmin ve kestirim aralıkları

\pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot SE

formülüyle bulunduğundan ve

5 > 4

eşitsizliğinden dolayı bireysel tahmin aralığı her zaman ortalama kestirim aralığından daha geniştir.

Adım Adım Çözüm

Regresyon modelinin standart hatasının (

S_e

) karesinin (varyansının) hesaplanması

S_e^2 = 144 / (18 - 2) = 144 / 16 = 9

Varyans ve standart hata hesaplamalarına temel oluşturması için Hata Kareler Toplamı (

HKT

) serbestlik derecesine (

n-2

) bölünmelidir.

Bireysel tahmin varyansı ile ortalama kestirim varyansı arasındaki matematiksel ilişkinin kurulması

Var(\hat{Y}_{birey}) = Var(\hat{Y}_{ort}) + S_e^2

Bireysel bir değerin tahminindeki toplam hata, o noktadaki ortalamanın kestirimindeki hata ile bireysel rassal hatanın bağımsız toplamından oluşur.

Değerlerin formülde yerine konularak bireysel tahmin standart hatasının (

SE_{\hat{Y}_{birey}}

) bulunması

SE_{\hat{Y}_{birey}} = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

birim

Soru metninde verilen ortalama standart hata (

4

) ve 1. adımda bulunan değer (

9

) kullanılarak nihai standart hataya ulaşılması gerekir.

Ortalama ve bireysel tahmin aralıklarının genişliklerinin karşılaştırılması

Bireysel tahmin aralığı daha geniştir.

Aralık genişliği standart hata ile doğru orantılıdır (

\pm t \cdot SE

). Her iki aralık için de aynı t-kritik değeri kullanıldığından ve her zaman

SE_{\hat{Y}_{birey}} > SE_{\hat{Y}_{ort}}

(

5 > 4

) eşitsizliği geçerli olduğundan dış aralık daha geniş olur.

Anahtar Kavram

Bireysel değer tahmin varyansının, ortalama kestirim varyansı ile regresyon hata varyansının (

S_e^2

) direkt toplamından oluşması ve tahmin aralığı genişliğinin standart hataya duyarlılığı.

Alternatif Yöntem

Aday, doğrudan

SE_{\hat{Y}_{birey}}^2 = S_e^2 + SE_{\hat{Y}_{ort}}^2

teorik bağıntısını hatırlamıyorsa, ortalama kestirim varyans formülünün (

S_e^2 (\frac{1}{n} + \frac{(X_0-\bar{X})^2}{\sum x^2})

)

16

'ya eşit olduğunu yazıp, bireysel formüldeki (

S_e^2 (1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0-\bar{X})^2}{\sum x^2})

) ekstra

S_e^2 \cdot 1

terimini bu toplama ekleyerek de aynı matematiksel sonuca analitik olarak ulaşabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru