Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtalama ve Bireysel Değer İçin Kestirim (Tahmin) Aralıkları

Bir araştırmacı, n=20n=20 gözlem kullanarak basit doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir. Elde edilen bulgulara göre bağımsız değişkenin ortalaması Xˉ=50\bar{X}=50, bağımsız değişkenin kareler toplamı ∑(Xi−Xˉ)2=500\sum (X_i - \bar{X})^2 = 500 ve modelin standart hatası se=10s_e = 10 olarak hesaplanmıştır.

Bağımsız değişkenin X0=60X_0 = 60 değeri için bağımlı değişkenin bireysel değerinin kestirimine ilişkin standart hata ve aralık genişliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Bireysel değerin kestirim hatası 101,2510\sqrt{1,25}'dir ve bu değer ortalama değerin güven aralığından daha geniş bir aralık oluşturur.Cevap
  2. B
    Bireysel değerin kestirim hatası 100,2510\sqrt{0,25}'dir ve bu değer ortalama değerin güven aralığı ile aynı genişlikte bir aralık oluşturur.
  3. C
    Ortalama değerin standart hatası 101,2510\sqrt{1,25}'dir ve bireysel değerin kestirim aralığından daha geniştir.
  4. D
    Bireysel değerin kestirim hatası 101,0510\sqrt{1,05}'dir ve X0X_0 değeri ortalamadan uzaklaştıkça bu hata payı azalır.
  5. E
    Ortalama değerin standart hatası 100,0510\sqrt{0,05}'dir ve örneklem hacmi (nn) arttıkça bu hata payı artar.

Cevap

Bireysel değerin kestirim hatası 101,2510\sqrt{1,25} olup, bu değer ortalama değerin güven aralığından daha geniştir.
Doğru cevapta belirtilen kestirim hatası değeri, bireysel değerlerin standart hatası için kullanılan se1+1/n+(X0−Xˉ)2/∑(X−Xˉ)2s_e \sqrt{1 + 1/n + (X_0-\bar{X})^2/\sum(X-\bar{X})^2} formülüne tam olarak uymaktadır. Ayrıca teorik olarak bireysel kestirim aralıkları, ortalama değerlerin güven aralıklarından her zaman daha geniştir çünkü bireysel gözlemlerin hata payı modelin ortalama hata payından fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
Bireysel değer için kestirim hatası (spreds_{pred}) formülünü belirleyiniz.
spred=se1+1n+(X0−Xˉ)2∑(Xi−Xˉ)2s_{pred} = s_e \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}
Bireysel bir gözlemin kestirim hatası, hem regresyon doğrusunun tahminindeki belirsizliği hem de modeldeki rastsal hata teriminin varyansını yansıtmalıdır.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapınız.
spred=101+120+(60−50)2500=101+0,05+100500=101+0,05+0,20=101,25s_{pred} = 10 \sqrt{1 + \frac{1}{20} + \frac{(60 - 50)^2}{500}} = 10 \sqrt{1 + 0,05 + \frac{100}{500}} = 10 \sqrt{1 + 0,05 + 0,20} = 10\sqrt{1,25}
Kestirim hatası, verilen örneklem büyüklüğü, bağımsız değişkenin yayılımı ve tahmin edilen noktanın ortalamadan uzaklığına bağlı olarak hesaplanır.
3
Ortalama değerin güven aralığı standart hatası (sY^0s_{\hat{Y}_0}) ile karşılaştırınız.
sY^0=100,25=5s_{\hat{Y}_0} = 10 \sqrt{0,25} = 5. 101,25≈11,1810\sqrt{1,25} \approx 11,18 olduğu için spred>sY^0s_{pred} > s_{\hat{Y}_0} sonucuna ulaşılır.
Bireysel değer kestirim aralığı, ortalama değerin güven aralığına ek olarak hata teriminin varyansını (se2s_e^2) da kapsadığı için her zaman daha geniştir.

Anahtar Kavram

Bireysel kestirim aralığı (prediction interval) ile ortalama değer güven aralığı (confidence interval) arasındaki temel fark, bireysel kestirimde modeldeki hata teriminden kaynaklanan varyansın da hesaba katılmasıdır. Bu durum bireysel kestirim aralığını daima daha geniş kılar.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenin değerinin tam olarak ortalamaya eşit olduğu (X0=XˉX_0 = \bar{X}) durumda, güven aralığının ve kestirim aralığının neden en dar hallerine ulaştığını düşününüz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama ve Bireysel Değer İçin Kestirim (Tahmin) Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru