Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1

Bu kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem temelinde, θ\theta parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θ2n\frac{\theta^2}{n}Cevap
  2. B
    θn\frac{\theta}{n}
  3. C
    θ2\theta^2
  4. D
    1nθ2\frac{1}{n\theta^2}
  5. E
    2θ2n\frac{2\theta^2}{n}

Cevap

θ2n\frac{\theta^2}{n} ifadesi, verilen dağılım için Cramer-Rao alt sınırını temsil eder.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun ikinci türevi −1/θ2-1/\theta^2 olarak bulunur. Bu değerin beklenen değerinin negatifi olan 1/θ21/\theta^2, tek bir birim için Fisher bilgisidir. nn birimlik örneklemde toplam bilgi n/θ2n/\theta^2 olur. Varyansın alt sınırı ise bu toplam bilginin çarpmaya göre tersi olan θ2/n\theta^2/n değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını alın.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x\ln f(x; \theta) = \ln \theta + (\theta - 1) \ln x
Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonu gereklidir.
2
Parametreye (θ\theta) göre birinci ve ikinci mertebeden türevleri hesaplayın.
∂ln⁡f∂θ=1θ+ln⁡x\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = \frac{1}{\theta} + \ln x ve ∂2ln⁡f∂θ2=−1θ2\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = -\frac{1}{\theta^2}
Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifine eşittir.
3
Tek bir gözlem için Fisher Bilgisini (I(θ)I(\theta)) bulun.
I(θ)=−E[−1θ2]=1θ2I(\theta) = -E\left[ -\frac{1}{\theta^2} \right] = \frac{1}{\theta^2}
Beklenen değer sabitin kendisine eşittir.
4
nn birimlik örneklem için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRAS) formülünü uygulayın.
CRAS=1nI(θ)=1n(1/θ2)=θ2nCRAS = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{n}
Yansız bir tahmin edicinin varyansı 1/[nI(θ)]1 / [n I(\theta)] değerinden küçük olamaz.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği, yansız bir tahmin edicinin varyansının alt sınırını belirler ve Fisher Bilgisi ile ters orantılıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru