İstatistiksel analizlerde, iki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel … — KPSS İstatistik

İstatistiksel analizlerde, iki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel şartlardan biri, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) yapısıdır. $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $0 < x < y < 1$ bölgesi üzerinde tanımlı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenler bağımlıdır çünkü tanımlı oldukları bölge (destek kümesi) bir dikdörtgen (kartezyen çarpım kümesi) yapısında değildir.Cevap
B
Değişkenlerin kovaryans değeri sıfır ise, tanımlı oldukları bölgeye bakılmaksızın bu değişkenler bağımsızdır.
C
Değişkenler bağımsızdır çünkü her iki değişken de aynı $(0, 1)$ aralığında değerler almaktadır.
D
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu sabit bir değer aldığı sürece değişkenler her zaman bağımsızdır.
E
Değişkenlerin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamı ortak yoğunluk fonksiyonunu veriyorsa değişkenler bağımsızdır.

Cevap

Değişkenler bağımlıdır çünkü tanımlı oldukları bölge (destek kümesi) bir dikdörtgen (kartezyen çarpım kümesi) yapısında değildir.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için temel bir geometrik şart vardır: Değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölge (destek kümesi), değişkenlerin bireysel aralıklarının kartezyen çarpımı olan bir dikdörtgen (veya sonsuz aralıklar için tüm düzlem) şeklinde olmalıdır. Soruda verilen

0 < x < y < 1

bölgesi bir üçgendir ve

x

ile

y

değerleri birbirine bağlı sınırlar içerir. Bu durum, değişkenlerin bağımlı olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) analiz etme

0 < x < y < 1

eşitsizliği,

x

y

eksenleri arasında bir üçgen bölgeyi tanımlar.

Bağımsızlık incelemesinde ilk adım, değişkenlerin değer aralıklarının birbirine bağlı olup olmadığını kontrol etmektir.

Sınırların bağımlılığını kontrol etme

x

değişkeninin üst sınırı

y

değişkenine,

y

değişkeninin alt sınırı ise

x

değişkenine bağlıdır.

Eğer bir değişkenin sınırları diğer değişkene bağlıysa, bu durum değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpanlarına ayrılamayacağını gösterir.

Bağımsızlık teorisini uygulama

Bağımsız sürekli rastgele değişkenler için destek kümesi mutlaka

S_X \times S_Y

(bir dikdörtgen) şeklinde olmalıdır.

Tanımlı bölge bir dikdörtgen (veya kare) değilse, değişkenler arasındaki olasılık ilişkisi bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için gerekli olan 'dikdörtgen destek kümesi' şartı.

İpuçları

Değişkenlerin tanımlı olduğu

0 < x < y < 1

eşitsizliğine bakın. Bir değişkenin alabileceği değerler diğerine bağlı mıdır?

Bağımsız değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y) = g(x)h(y)

şeklinde çarpanlarına ayrılabilmelidir. Sınırlar buna izin veriyor mu?

Daha Fazla Pratik

Dikdörtgen bir bölge (örneğin

0 < x < 1, 0 < y < 1

) üzerinde tanımlı fakat fonksiyonel olarak çarpanlarına ayrılamayan (örneğin

f(x,y) = x+y

) durumları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak düşünün:

xy

düzleminde

0 < x < 1

0 < y < 1

bir kare belirtirken,

x < y

şartı bu kareyi ikiye bölerek bir üçgen oluşturur. Bağımsızlık için bölgenin her zaman tam bir kare/dikdörtgen olması zorunludur.

Tahmini Süre:45s

Soru