Examkin

Soru

Zorluk: ZorKuyruk Sistemlerinin Temel Kavramları ve Süreçler (Varış ve Hizmet)

Bir liman işletmesine yük gemilerinin varışları Poisson sürecine uymaktadır. Yapılan gözlemlere göre, herhangi bir 22 saatlik zaman diliminde limana hiç gemi gelmeme olasılığı e−8e^{-8} olarak hesaplanmıştır.

Limandaki tek vincin gemilere hizmet verme süreleri üstel dağılıma sahip olup, vincin saatlik hizmet hızının (μ\mu), saatlik varış hızından (λ\lambda) %25\%25 daha fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu limanda bir geminin ortalama hizmet süresi kaç dakikadır?

  1. A
    0,2
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. 12Cevap
  5. E
    15

Cevap

Bir geminin ortalama hizmet süresi 12 dakikadır.
Herhangi bir tt süresi içinde xx sayıda varış olma olasılığı Poisson dağılımına göre P(X=x)=e−λt(λt)xx!P(X=x) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^x}{x!} formülü ile ifade edilir. Soruda 22 saatlik bir dilimde hiç gemi gelmeme olasılığı P(X=0)=e−λ⋅2=e−8P(X=0) = e^{-\lambda \cdot 2} = e^{-8} olarak verilmiştir. Buradan 2λ=82\lambda = 8 ve λ=4\lambda = 4 gemi/saat olarak bulunur.

Hizmet hızı (μ\mu), varış hızından (λ\lambda) %25\%25 daha fazla olduğuna göre μ=4⋅(1+0,25)=5\mu = 4 \cdot (1 + 0,25) = 5 gemi/saat olur.

Üstel dağılıma sahip hizmet süresinin beklenen değeri, hizmet hızının tersidir. Saat cinsinden ortalama hizmet süresi E[S]=1/μ=1/5E[S] = 1/\mu = 1/5 saattir. Soru bizden sonucu dakika cinsinden istediği için, süreyi 6060 ile çarparız: (1/5)⋅60=12(1/5) \cdot 60 = 12 dakika sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu kullanılarak saatlik varış hızının (λ\lambda) bulunması.
λ=4\lambda = 4 gemi/saat
Poisson sürecinde hiç varış olmama olasılığı P(X=0)=e−λ⋅tP(X=0) = e^{-\lambda \cdot t} formülü ile ifade edilir. t=2t=2 saat için e−2λ=e−8e^{-2\lambda} = e^{-8} olduğundan 2λ=82\lambda = 8 olur.
2
Saatlik hizmet hızının (μ\mu) hesaplanması.
μ=5\mu = 5 gemi/saat
Hizmet hızı, varış hızından %25\%25 fazla olarak verildiği için μ=λ+0,25λ=4⋅1,25=5\mu = \lambda + 0,25\lambda = 4 \cdot 1,25 = 5 işlemi yapılır.
3
Ortalama hizmet süresinin saat cinsinden bulunması.
E[S]=1/5E[S] = 1/5 saat
Hizmet süreleri üstel dağılıma sahip olduğundan, ortalama hizmet süresi hizmet hızının çarpmaya göre tersidir (1/μ1/\mu).
4
Bulunan saat cinsinden sürenin dakikaya dönüştürülmesi.
1212 dakika
Soru kökünde sonucun dakika biriminden istendiği belirtilmiştir. (1/5)⋅60=12(1/5) \cdot 60 = 12 dakika elde edilir.

Anahtar Kavram

Poisson sürecinde varış olasılıkları ve üstel hizmet süresi birim dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kuyruk Sistemlerinin Temel Kavramları ve Süreçler (Varış ve Hizmet)

Bu konudan daha fazla soru