Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bir kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem olsun. Söz konusu kitlenin olasılık kütle fonksiyonu, θ>0\theta > 0 parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)=e−θθxx!,x=0,1,2,…f(x; \theta) = \frac{e^{-\theta} \theta^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Buna göre, θ\theta parametresinin her yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θ\theta
  2. θn\frac{\theta}{n}Cevap
  3. C
    1nθ\frac{1}{n\theta}
  4. D
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  5. E
    1n\frac{1}{n}

Cevap

Poisson dağılımı parametresi için Cramer-Rao alt sınırı θn\frac{\theta}{n} ifadesine eşittir.
Doğru cevap, Poisson dağılımı için hesaplanan Fisher bilgi sayısının (1/θ1/\theta) tersinin örneklem hacmi olan nn değerine bölünmesiyle elde edilen θ/n\theta/n ifadesidir. Bu değer, θ\theta parametresinin yansız tahmin edicileri (örneğin örneklem ortalaması) için ulaşılabilecek en düşük varyansı gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun logaritmasını alın.
ln⁡f(x;θ)=−θ+xln⁡θ−ln⁡x!\ln f(x; \theta) = -\theta + x \ln \theta - \ln x!
Fisher bilgi sayısını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonu gereklidir.
2
Logaritması alınan fonksiyonun θ\theta parametresine göre birinci ve ikinci türevlerini hesaplayın.
∂ln⁡f∂θ=−1+xθ\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -1 + \frac{x}{\theta} ve ∂2ln⁡f∂θ2=−xθ2\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = -\frac{x}{\theta^2}
Fisher bilgisi, ikinci türevin negatif beklenen değeridir.
3
Tek bir gözlem için Fisher bilgi sayısını (I(θ)I(\theta)) bulun.
I(θ)=−E[−Xθ2]=E[X]θ2=θθ2=1θI(\theta) = -E\left[ -\frac{X}{\theta^2} \right] = \frac{E[X]}{\theta^2} = \frac{\theta}{\theta^2} = \frac{1}{\theta}
Poisson dağılımında beklenen değer E[X]=θE[X] = \theta olduğu için sadeleştirme yapılır.
4
nn birimlik örneklem için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayın.
CRLB=1nI(θ)=1n(1/θ)=θnCRLB = \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta)} = \frac{\theta}{n}
Cramer-Rao eşitsizliği, nn birimlik bağımsız gözlemler için Fisher bilgisinin toplamına (n*I) dayalı bir alt sınır belirler.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao alt sınırı, bir parametrenin yansız bir tahmin edicisinin sahip olabileceği teorik olarak en küçük varyans değerini tanımlar ve Fisher bilgi sayısı ile ters orantılıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru