Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Bir işletmenin aylık reklam harcamaları (XX, bin TL) ile satış hacmi (YY, bin adet) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 10 aylık veriler toplanmış ve aşağıdaki özet istatistikler hesaplanmıştır:

İstatistikDeğer
nn1010
∑Xi\sum X_i100100
∑Yi\sum Y_i250250
∑Xi2\sum X_i^212001200
∑Yi2\sum Y_i^268506850
∑XiYi\sum X_i Y_i28002800

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi ve bu tahmin edicilerin istatistiksel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Tahmin denklemi Y^i=10,0+1,5Xi\hat{Y}_i = 10,0 + 1,5 X_i şeklindedir ve EKK tahmin edicileri Gauss-Markov varsayımları altında en iyi doğrusal sapmasız tahmin edicilerdir (BLUE).Cevap
  2. B
    Tahmin denklemi Y^i=20,0+0,5Xi\hat{Y}_i = 20,0 + 0,5 X_i şeklindedir ve bu tahmin ediciler sapmalı ancak en küçük varyanslıdır.
  3. C
    Tahmin denklemi Y^i=18,3+0,67Xi\hat{Y}_i = 18,3 + 0,67 X_i şeklindedir ve katsayılar sadece örneklem hacmi sonsuza giderken sapmasızdır.
  4. D
    Tahmin denklemi Y^i=10,0+1,5Xi\hat{Y}_i = 10,0 + 1,5 X_i şeklindedir ancak bu tahmin ediciler doğrusal olmadıkları için etkin değildir.
  5. E
    Tahmin denklemi Y^i=25,0+1,5Xi\hat{Y}_i = 25,0 + 1,5 X_i şeklindedir ve sabit terim her zaman bağımlı değişkenin ortalamasına eşittir.

Cevap

Tahmin denklemi Y^i=10,0+1,5Xi\hat{Y}_i = 10,0 + 1,5 X_i şeklindedir ve bu katsayılar Gauss-Markov varsayımları altında en iyi doğrusal sapmasız tahmin edicilerdir.
Yapılan hesaplamalar sonucunda eğim katsayısı 1,51,5 ve sabit terim 10,010,0 olarak bulunmuştur. Ayrıca Gauss-Markov teoremi uyarınca, temel varsayımlar sağlandığında EKK tahmin edicileri tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler içinde en küçük varyansa sahip (BLUE) olanlardır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ortalamalarını hesaplayınız.
Xˉ=100/10=10\bar{X} = 100 / 10 = 10; Yˉ=250/10=25\bar{Y} = 250 / 10 = 25
Katsayı formüllerinde sapma değerlerini veya ortalamaları kullanmak gereklidir.
2
Kareler ve çarpımlar toplamını (SSxxSS_{xx} ve SSxySS_{xy}) hesaplayınız.
SSxx=∑Xi2−nXˉ2=1200−10(10)2=200SS_{xx} = \sum X_i^2 - n \bar{X}^2 = 1200 - 10(10)^2 = 200; SSxy=∑XiYi−nXˉYˉ=2800−10(10)(25)=300SS_{xy} = \sum X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y} = 2800 - 10(10)(25) = 300
Eğim katsayısı tahmini için bağımsız değişkenin varyasyonu ve değişkenler arası ortak varyasyon gereklidir.
3
Eğim katsayısını (β^1\hat{\beta}_1) ve sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) tahmin ediniz.
β^1=SSxy/SSxx=300/200=1,5\hat{\beta}_1 = SS_{xy} / SS_{xx} = 300 / 200 = 1,5; β^0=Yˉ−β^1Xˉ=25−(1,5)(10)=10\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 25 - (1,5)(10) = 10
En Küçük Kareler yöntemi katsayı formülleri uygulanır.
4
Tahmin edicilerin özelliklerini Gauss-Markov teoremi çerçevesinde değerlendiriniz.
EKK tahmin edicileri Doğrusal (Linear), Sapmasız (Unbiased) ve En Küçük Varyanslı (Best/Efficient) özelliklerini bir arada taşır.
Klasik regresyon varsayımları altında EKK tahmin edicileri BLUE olarak tanımlanır.

Anahtar Kavram

EKK Katsayı Tahmini ve BLUE Özelliği
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru