Examkin

Soru

Zorluk: ZorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir tarım il müdürlüğünde görevli ziraat mühendisi, belirli bir tarım arazisinde metrekareye düşen zararlı böcek sayısını (XX) modellemektedir. Zararlı böcek sayısının θ\theta parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır.

Geçmiş yıllara ait veriler incelendiğinde, θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımının α=4\alpha=4 ve β=2\beta=2 parametreli Gamma dağılımı olduğu belirlenmiştir. (Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu f(θ)=βαΓ(α)θα−1e−βθ,θ>0f(\theta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \theta^{\alpha-1} e^{-\beta\theta}, \theta > 0 olarak verilmektedir.)

Mühendis, araziden rastgele seçilen n=5n=5 farklı metrekarelik alanda yaptığı sayımlarda sırasıyla 2,4,3,22, 4, 3, 2 ve 55 adet zararlı böcek tespit etmiştir.

Tahmin işleminde kullanılacak kayıp fonksiyonu L(θ,δ)=θ(θ−δ)2L(\theta, \delta) = \theta(\theta - \delta)^2 olarak belirlendiğine göre, θ\theta parametresi için Bayes tahmin edicisinin aldığı değer aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 33Cevap
  2. B
    207\frac{20}{7}
  3. C
    197\frac{19}{7}
  4. D
    165\frac{16}{5}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

Bayes tahmin edicisi 33 olarak bulunur.
Bayes tahmin edicisi, verilen kayıp fonksiyonunun sonsal (posterior) beklenen değerini minimize eden tahmin edicidir. Sonsal dağılım, önsel (prior) Gamma(4, 2) ve olabilirlik Poisson(16, 5) fonksiyonlarının çarpımı ile Gamma(20, 7) olarak bulunur. Soruda verilen ağırlıklı karesel kayıp fonksiyonu L(θ,δ)=θ(θ−δ)2L(\theta, \delta) = \theta(\theta - \delta)^2 için beklenen risk δ\delta'ya göre minimize edildiğinde Bayes tahmin edicisi genel formülü δ=E[θ2∣x]E[θ∣x]\delta = \frac{E[\theta^2|x]}{E[\theta|x]} olarak elde edilir. Gamma(20, 7) dağılımının özellikleri (E[θ]=αβE[\theta]=\frac{\alpha}{\beta} ve E[θ2]=α(α+1)β2E[\theta^2]=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}) kullanıldığında sonuç 217=3\frac{21}{7} = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunun ve önsel dağılımın belirlenmesi.
Olabilirlik: L(θ∣x)∝θ∑xie−nθ=θ16e−5θL(\theta|x) \propto \theta^{\sum x_i} e^{-n\theta} = \theta^{16} e^{-5\theta}. Önsel: π(θ)∝θα−1e−βθ=θ3e−2θ\pi(\theta) \propto \theta^{\alpha-1} e^{-\beta\theta} = \theta^{3} e^{-2\theta}.
Sonsal dağılımı bulmak için Bayes teoremi gereği olabilirlik fonksiyonu ile önsel dağılım çarpılmalıdır.
2
Sonsal (posterior) dağılımın hesaplanması.
π(θ∣x)∝L(θ∣x)π(θ)=θ19e−7θ\pi(\theta|x) \propto L(\theta|x) \pi(\theta) = \theta^{19} e^{-7\theta}. Bu ifade, αpost=20\alpha_{post}=20 ve βpost=7\beta_{post}=7 parametreli Gamma dağılımının çekirdeğidir.
Sonsal dağılım, Bayes parametre tahmininde kullanılacak temel dağılımdır.
3
Verilen kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi formülünün türetilmesi.
L(θ,δ)=θ(θ−δ)2L(\theta, \delta) = \theta(\theta - \delta)^2 için beklenen kayıp E[L∣x]=E[θ3−2δθ2+δ2θ∣x]E[L|x] = E[\theta^3 - 2\delta\theta^2 + \delta^2\theta | x] olur. Bu ifadenin δ\delta'ya göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde δ=E[θ2∣x]E[θ∣x]\delta = \frac{E[\theta^2|x]}{E[\theta|x]} elde edilir.
Bayes tahmin edicisi, sonsal beklenen kaybı (riski) en küçük yapan δ\delta değeridir.
4
Gamma dağılımının momentlerini kullanarak tahmin edicinin sayısal olarak hesaplanması.
Gamma(20,7)Gamma(20, 7) dağılımı için E[θ∣x]=207E[\theta|x] = \frac{20}{7} ve E[θ2∣x]=20×2172E[\theta^2|x] = \frac{20 \times 21}{7^2}'dir. Formülde yerine konulduğunda δ=20×21/4920/7=217=3\delta = \frac{20 \times 21 / 49}{20 / 7} = \frac{21}{7} = 3 bulunur.
Sonsal dağılımın momentleri türetilen formülde kullanılarak nihai nokta tahmini elde edilir.

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi ve Ağırlıklı Kayıp Fonksiyonları
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru