Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir hava trafik kontrol merkezinde, acil iniş izni isteyen insansız hava araçları (İHA) için tek bir otonom analiz sistemi bulunmaktadır. Bu sisteme İHA'ların varış hızı, o an sistemde bulunan (analiz edilen veya kuyrukta bekleyen) İHA sayısına (nn) bağlı olarak değişmektedir.

- Sistem boşken (n=0n=0) varış hızı: saatte 12 İHA
- Sistemde 1 İHA varken (n=1n=1) varış hızı: saatte 6 İHA
- Sistemde 2 İHA varken (n=2n=2) varış hızı: saatte 4 İHA

Sistem kapasitesi en fazla 3 İHA ile sınırlıdır (1'i analizde, 2'si kuyrukta). Dolayısıyla, sistemde 3 İHA bulunduğunda yeni gelen araçlar başka bir merkeze yönlendirilmektedir. Otonom analiz sisteminin hizmet süresi üstel dağılıma uymakta olup saatte ortalama 4 İHA'ya hizmet verebilmektedir. Sistemdeki araç sayısından bağımsız olarak hizmet hızı sabittir.

Bu Doğum-Ölüm (Birth-Death) sürecine göre, sistemin denge durumunda (steady-state) tamamen boş kalma olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. A
    140\frac{1}{40}
  2. 113\frac{1}{13}Cevap
  3. C
    112\frac{1}{12}
  4. D
    17\frac{1}{7}
  5. E
    213\frac{2}{13}

Cevap

Doğru cevap 113\frac{1}{13} değeridir. Denge durumunda tüm olasılıkların P0P_0 cinsinden toplamı 13P013P_0 değerine eşittir ve 13P0=113P_0 = 1 denkleminden bu sonuca ulaşılır.
Bu problemde varış hızı sisteme o anki durumuna bağlı olarak değiştiği için standart kuyruk formülleri kullanılamaz. Temel Doğum-Ölüm (Birth-Death) süreci denge denklemleri kullanılarak her bir durumun olasılığı P0P_0 cinsinden ifade edilmeli (P1=3P0P_1 = 3P_0, P2=4,5P0P_2 = 4,5P_0, P3=4,5P0P_3 = 4,5P_0) ve tüm olasılıkların toplamı (13P013P_0) 1'e eşitlenerek çözüme ulaşılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistemdeki araç sayısına (nn) göre varış (λn\lambda_n) ve hizmet (μn\mu_n) hızlarını belirleyiniz.
Varış hızları: λ0=12\lambda_0 = 12, λ1=6\lambda_1 = 6, λ2=4\lambda_2 = 4, λn=0\lambda_n = 0 (n≥3n \ge 3). Hizmet hızları sabittir: μn=4\mu_n = 4 (n≥1n \ge 1).
Sistemin durumlarına ait denge denklemlerini kurabilmek için durumlar arası geçiş oranlarının netleştirilmesi gerekir.
2
Doğum-Ölüm süreci genel formülü olan Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} bağıntısını kullanarak tüm olasılıkları P0P_0 cinsinden ifade ediniz.
P1=124P0=3P0P_1 = \frac{12}{4} P_0 = 3P_0
P2=64P1=1,5×3P0=4,5P0P_2 = \frac{6}{4} P_1 = 1,5 \times 3P_0 = 4,5P_0
P3=44P2=1×4,5P0=4,5P0P_3 = \frac{4}{4} P_2 = 1 \times 4,5P_0 = 4,5P_0
Sistem dengedeyken bir duruma giriş oranı o durumdan çıkış oranına eşit olmalıdır, bu denklik her durumun olasılığını boş kalma olasılığı cinsinden verir.
3
Tüm durumların olasılıkları toplamını 1'e eşitleyerek P0P_0 değerini hesaplayınız.
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1
P0+3P0+4,5P0+4,5P0=1P_0 + 3P_0 + 4,5P_0 + 4,5P_0 = 1
13P0=1  ⟹  P0=11313P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{13}
Bir olasılık dağılımında gerçekleşebilecek tüm birbirini dışlayan durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı (State-Dependent) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru