Bir araştırmacı, iki değişkenli bir veri setinde kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşen… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, iki değişkenli bir veri setinde kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda birinci temel bileşen $Z_1 = 0,6X_1 - 0,8X_2$ doğrusal kombinasyonu ile elde edilmiş ve bu bileşenin varyansı 32 olarak hesaplanmıştır. Analize esas alınan kovaryans matrisinin izi (trace) 40 olduğuna göre, katsayılar vektörünün normalize edildiği ( $a'a = 1$ ) bilindiğinde, ikinci temel bileşenin ( $Z_2$ ) varyansı kaçtır?

A
32
B
40
8Cevap
D
16
E
24

Cevap

İkinci temel bileşenin varyansı 8'dir.

Temel Bileşenler Analizi'nde, doğrusal kombinasyonlarla elde edilen bileşenlerin varyansları, veri setinin kovaryans matrisinin özdeğerlerine (

\lambda

) eşittir. Verilen problemde birinci temel bileşenin varyansı

Var(Z_1) = 32

olarak belirtildiğinden, bu değer aynı zamanda birinci özdeğer olan

\lambda_1 = 32

değerine karşılık gelir. Kovaryans matrisinin izi (trace), matrisin köşegen elemanlarının toplamıdır ve bu değer matematiksel olarak özdeğerlerin toplamına eşittir (

\sum \lambda_i = İz(S)

). İki değişkenli bir analizde toplam varyans

\lambda_1 + \lambda_2 = 40

olduğuna göre, ikinci temel bileşenin varyansı olan

\lambda_2 = 40 - 32 = 8

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Birinci temel bileşenin varyansı ile özdeğer arasındaki ilişkiyi belirle.

Var(Z_1) = \lambda_1 = 32

Temel Bileşenler Analizi'nde her bir temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin ilgili özdeğerine eşittir.

Kovaryans matrisinin izi ile toplam varyans arasındaki ilişkiyi kullan.

İz(S) = \lambda_1 + \lambda_2 = 40

Bir matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin izine (trace) eşittir. TBA'da bu değer toplam varyansı gösterir.

İkinci özdeğeri hesapla.

\lambda_2 = 40 - 32 = 8

Toplam varyanstan birinci bileşenin açıkladığı varyans çıkarıldığında kalan miktar ikinci bileşene aittir.

İkinci temel bileşenin varyansını sonuçlandır.

Var(Z_2) = \lambda_2 = 8

İkinci temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin ikinci özdeğerine eşittir.

Anahtar Kavram

Temel bileşenlerin varyansları, analizde kullanılan matrisin özdeğerlerine eşittir ve bu varyansların toplamı matrisin izine (toplam varyansa) eşittir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular