Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir çevre araştırmacısı, 4 farklı su kalitesi göstergesinden (X1,X2,X3,X4X_1, X_2, X_3, X_4) oluşan bir veri setine kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Elde edilen ilk iki özdeğer sırasıyla λ1=15\lambda_1 = 15 ve λ2=8\lambda_2 = 8 olarak bulunmuştur.

Birinci temel bileşene ait normalize edilmiş (uzunluğu 1 olan) katsayılar vektörü (özvektör) aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:
e1=[05−050505]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0{}5 \\ -0{}5 \\ 0{}5 \\ 0{}5 \end{bmatrix}
Araştırmacı, su kalitesini tek bir skorla özetlemek amacıyla orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan aşağıdaki WW indeksini tanımlamıştır:
W=X1−X2+X3+X4W = X_1 - X_2 + X_3 + X_4

Buna göre, oluşturulan WW indeksinin varyansı (Var(W)Var(W)) kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    30
  3. 60Cevap
  4. D
    32
  5. E
    8

Cevap

Doğru yanıt 60'tır. Doğrusal kombinasyon olan W indeksi, birinci temel bileşenin tam 2 katı olduğundan, varyansı birinci özdeğerin karesel çarpanı ile (4 katı) hesaplanır.
W indeksinin katsayıları olan [1,−1,1,1][1, -1, 1, 1] vektörü, birinci temel bileşene ait normalize e1\mathbf{e}_1 özvektörünün [05,−05,05,05][0{}5, -0{}5, 0{}5, 0{}5] tam 2 katıdır. Yani W=2Y1W = 2Y_1'dir. Bir değişkeni bir sabitle çarptığımızda varyansı, o sabitin karesi oranında artar. Bu kural uyarınca Var(W)=22×Var(Y1)Var(W) = 2^2 \times Var(Y_1) olur. Temel bileşenler analizinde birinci temel bileşenin varyansı ilk özdeğere (λ1\lambda_1) eşittir. Dolayısıyla varyans 4×15=604 \times 15 = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci temel bileşenin (Y₁) doğrusal formülünü ve varyansını belirleme.
Y1=05X1−05X2+05X3+05X4Y_1 = 0{}5X_1 - 0{}5X_2 + 0{}5X_3 + 0{}5X_4 ve Var(Y1)=λ1=15Var(Y_1) = \lambda_1 = 15.
Temel bileşenler, orijinal değişkenlerin ilgili özvektör katsayılarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilir ve varyansları doğrudan ait oldukları özdeğere eşittir.
2
İstenilen W indeksi ile birinci temel bileşen Y₁ arasındaki matematiksel ilişkiyi kurma.
W=X1−X2+X3+X4=2(05X1−05X2+05X3+05X4)=2Y1W = X_1 - X_2 + X_3 + X_4 = 2(0{}5X_1 - 0{}5X_2 + 0{}5X_3 + 0{}5X_4) = 2Y_1.
W indeksinin katsayılar vektörü [1,−1,1,1]T[1, -1, 1, 1]^T, birinci temel bileşene ait olan e1\mathbf{e}_1 özvektörünün tam 2 katıdır.
3
Varyansın ölçekleme (scaling) özelliğini kullanarak Var(W) değerini hesaplama.
Var(W)=Var(2Y1)=22×Var(Y1)=4×15=60Var(W) = Var(2Y_1) = 2^2 \times Var(Y_1) = 4 \times 15 = 60.
Varyansın kurallarına göre, bir rastgele değişkenin bir cc sabiti ile çarpımının varyansı, o sabitin karesi (c2c^2) ile orijinal varyansın çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Katsayıları ve Varyans Özellikleri

Alternatif Yöntem

Varyans doğrudan matris formatında da ifade edilebilir: Var(W)=a′ΣaVar(W) = \mathbf{a}' \Sigma \mathbf{a}. Burada a=[1,−1,1,1]T\mathbf{a} = [1, -1, 1, 1]^T vektörüdür. Covaryans matrisi Σ\Sigma'nın tüm elemanları bilinmediğinden, a\mathbf{a} vektörünün e1\mathbf{e}_1'in skaler bir katı (2e12\mathbf{e}_1) olduğu fark edilip, Var(W)=(2e1)′Σ(2e1)=4e1′Σe1=4λ1Var(W) = (2\mathbf{e}_1)' \Sigma (2\mathbf{e}_1) = 4 \mathbf{e}_1' \Sigma \mathbf{e}_1 = 4 \lambda_1 özelliği kullanılmalıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar