Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir pazar araştırmasında, üç değişkenli (X1,X2,X3X_1, X_2, X_3) bir veri seti için örneklem kovaryans matrisine dayalı Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler sırasıyla λ1=50\lambda_1 = 50, λ2=18\lambda_2 = 18 ve λ3=7\lambda_3 = 7 olarak bulunmuştur.

Orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan ikinci temel bileşen (Y2Y_2) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
Y2=27X1+a22X2+67X3Y_2 = \frac{2}{7} X_1 + a_{22} X_2 + \frac{6}{7} X_3

Temel bileşen katsayılarının (özvektör elemanlarının) normalize edildiği (kareleri toplamının 1'e eşit olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, ikinci temel bileşenin varyansı (Var(Y2)Var(Y_2)) ve a22a_{22} katsayısının alabileceği pozitif değer aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

  1. A
    5050 ve 37\frac{3}{7}
  2. B
    1818 ve 949\frac{9}{49}
  3. 1818 ve 37\frac{3}{7}Cevap
  4. D
    0,240,24 ve 37\frac{3}{7}
  5. E
    7575 ve 949\frac{9}{49}

Cevap

İkinci temel bileşenin varyansı 18, bilinmeyen katsayının pozitif değeri ise 3/7'dir.
Temel Bileşenler Analizinde ii-inci bileşenin varyansı doğrudan ii-inci özdeğere (λi\lambda_i) eşittir, bu nedenle Var(Y2)=λ2=18Var(Y_2) = \lambda_2 = 18'dir. Katsayılar (özvektör) ise kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edilir: (2/7)2+a222+(6/7)2=1(2/7)^2 + a_{22}^2 + (6/7)^2 = 1. Buradan 4/49+36/49=40/494/49 + 36/49 = 40/49 bulunur ve a222=1−40/49=9/49a_{22}^2 = 1 - 40/49 = 9/49 kalır. Sayının pozitif değeri istendiğinden a22=3/7a_{22} = 3/7 doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci temel bileşenin varyansını belirleme
Var(Y2)=λ2=18Var(Y_2) = \lambda_2 = 18 bulunur.
Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizinde, ii-inci temel bileşenin varyansı doğrudan kendi özdeğerine (λi\lambda_i) eşittir.
2
Özvektör normallik (birim uzunluk) şartını yazma
(27)2+a222+(67)2=1(\frac{2}{7})^2 + a_{22}^2 + (\frac{6}{7})^2 = 1 denklemi kurulur.
Temel bileşen katsayıları (özvektör elemanları), normu 1 olacak şekilde normalize edilir. Bu, doğrusal kombinasyonun katsayılarının kareleri toplamının 1 olması gerektiği anlamına gelir.
3
Bilinmeyen katsayıyı hesaplama
449+a222+3649=1  ⟹  a222+4049=1  ⟹  a222=949  ⟹  a22=37\frac{4}{49} + a_{22}^2 + \frac{36}{49} = 1 \implies a_{22}^2 + \frac{40}{49} = 1 \implies a_{22}^2 = \frac{9}{49} \implies a_{22} = \frac{3}{7} elde edilir.
Denklem çözülerek soruda istenilen katsayının pozitif değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel bileşenlerin varyansının özdeğerlere eşitliği ve özvektörlerin normalize (birim uzunluğa sahip) olma koşulu.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar