Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Çok değişkenli bir XX rasgele vektörüne ait varyans-kovaryans matrisi Σ\Sigma'nın özdeğerleri sırasıyla λ1=6\lambda_1 = 6, λ2=3\lambda_2 = 3 ve λ3=1\lambda_3 = 1 olarak hesaplanmıştır. Bu özdeğerlere karşılık gelen ve birbirine dik olan normalize edilmiş (birim) özvektörler sırasıyla e1,e2e_1, e_2 ve e3e_3'tür.

Bir araştırmacı, klasik temel bileşenleri doğrudan kullanmak yerine, orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan yeni bir WW değişkenini aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

W=15(2e1−e2)′XW = \frac{1}{\sqrt{5}} (2e_1 - e_2)' X

Buna göre, tanımlanan bu yeni WW değişkeninin varyansı, veri setindeki toplam varyansın yüzde kaçını açıklamaktadır?

  1. A
    %10
  2. B
    %18
  3. C
    %30
  4. %54Cevap
  5. E
    %90

Cevap

Doğrusal kombinasyonun varyansı karesel form açılarak hesaplandığında 5.4 bulunur ve bu değer toplam varyans olan 10'a bölündüğünde %54 sonucuna ulaşılır.
Toplam varyans özdeğerlerin toplamı olan 10'dur. WW değişkeninin varyansı a′Σaa'\Sigma a karesel formu kullanılarak hesaplandığında, özvektörlerin diklik özelliğinden dolayı çapraz terimler sıfırlanır ve geriye 15(4λ1+λ2)\frac{1}{5}(4\lambda_1 + \lambda_2) kalır. Değerler yerine konduğunda varyans 5.4 çıkar. Bunun toplam varyansa oranı 0.54, yani %54'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Veri setindeki toplam varyansı hesaplayın.
Tr(Σ)=λ1+λ2+λ3=6+3+1=10Tr(\Sigma) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 + 3 + 1 = 10
Bir veri setindeki toplam varyans, kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının toplamına (izine) veya eşdeğer olarak özdeğerlerinin toplamına eşittir.
2
WW değişkeninin varyansını ifade eden karesel formu kurun.
Var(W)=Var(a′X)=a′ΣaVar(W) = Var(a'X) = a'\Sigma a
a′Xa'X şeklinde tanımlanan herhangi bir doğrusal kombinasyonun varyansı, ağırlık vektörü aa ve kovaryans matrisi Σ\Sigma kullanılarak a′Σaa'\Sigma a karesel formu ile bulunur.
3
Ağırlık vektörünü yerine koyarak karesel formu özvektör özellikleri yardımıyla açın.
a′Σa=[15(2e1−e2)]′Σ[15(2e1−e2)]=15(4e1′Σe1−2e1′Σe2−2e2′Σe1+e2′Σe2)a'\Sigma a = \left[\frac{1}{\sqrt{5}}(2e_1 - e_2)\right]' \Sigma \left[\frac{1}{\sqrt{5}}(2e_1 - e_2)\right] = \frac{1}{5}(4e_1'\Sigma e_1 - 2e_1'\Sigma e_2 - 2e_2'\Sigma e_1 + e_2'\Sigma e_2)
Varyansı bulmak için matris çarpım kuralları gereği terimler dağıtılmalıdır.
4
Özvektörlerin diklik ve normalize özelliklerini kullanarak denklemi sadeleştirin ve sonucu bulun.
Σei=λiei\Sigma e_i = \lambda_i e_i ve e1′e2=0e_1'e_2=0 olduğundan çapraz çarpımlar sıfırlanır. Var(W)=15(4λ1+λ2)=15(24+3)=5.4Var(W) = \frac{1}{5}(4\lambda_1 + \lambda_2) = \frac{1}{5}(24 + 3) = 5.4 elde edilir.
Farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörler birbirine diktir (ei′ej=0e_i' e_j = 0) ve aynı özvektörün kendisiyle çarpımı 1'dir (ei′ei=1e_i' e_i = 1).
5
Bulunan varyansı toplam varyansa oranlayın.
Açıklanan Varyans Oranı = 5.410=0.54\frac{5.4}{10} = 0.54 (yani %54)
Soruda istenen, yeni değişkenin varyansının toplam varyans içindeki yüzdelik payıdır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Kombinasyonlarının Varyansı

Alternatif Yöntem

WW'nin normunun 15(22+(−1)2)=1\frac{1}{5}(2^2 + (-1)^2) = 1 olduğu önceden fark edilirse, oluşturulan dönüşüm vektörünün temel bileşenler uzayında rotasyona tabi tutulmuş geçerli bir eksen olduğu görülür. Varyans direkt olarak normalize edilmiş bileşen ağırlıklarının karesiyle özdeğerlerin çarpımı formülüyle 45λ1+15λ2\frac{4}{5}\lambda_1 + \frac{1}{5}\lambda_2 olarak hızla yazılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar