Tarımsal rekolte tahmin modellemesi kapsamında, toprak kalitesini yansıtan Z_1, Z_2 ve Z_3… — KPSS İstatistik

Tarımsal rekolte tahmin modellemesi kapsamında, toprak kalitesini yansıtan $Z_1, Z_2$ ve $Z_3$ bağımsız değişkenleri ölçülerek bir örneklem kovaryans matrisi oluşturulmuştur. Bu matris üzerinden gerçekleştirilen Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, sisteme ait özdeğerler büyükten küçüğe doğru $\lambda_1 = 36$ , $\lambda_2 = 24$ ve $\lambda_3 = 21$ şeklinde elde edilmiştir.

Analizin ardından, veri setindeki değişimi en yüksek oranda açıklayan birinci temel bileşen denklemi aşağıdaki gibi doğrusal bir fonksiyonla ifade edilmiştir:

Y_1 = \frac{4}{9} Z_1 - \frac{4}{9} Z_2 + c Z_3

Buna göre, $Y_1$ temel bileşeninin varyansı ve $c$ katsayısının alabileceği pozitif değer sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$81$ ve $\frac{7}{9}$
B
$36$ ve $\frac{1}{9}$
$36$ ve $\frac{7}{9}$ Cevap
D
$\frac{4}{9}$ ve $\frac{7}{9}$
E
$36$ ve $\frac{49}{81}$

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı

36

'dır ve

c

katsayısının pozitif değeri

7/9

'dur.

Temel Bileşenler Analizinde birinci temel bileşenin varyansı daima en büyük özdeğere eşittir; dolayısıyla varyans

36

'dır. Temel bileşeni oluşturan katsayılar vektörü ise birim norm özelliğine sahiptir. Verilen katsayıların kareleri toplamı

1

olmalıdır. Denklem çözüldüğünde

(\frac{4}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + c^2 = 1

eşitliğinden

c^2 = \frac{49}{81}

ve pozitif

c

katsayısı

\frac{7}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Birinci temel bileşenin varyansını belirleme.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 36

TBA'da herhangi bir

i

. temel bileşenin varyansı, doğrudan o bileşene karşılık gelen kovaryans matrisinin

i

. en büyük özdeğerine eşittir.

Temel bileşen katsayı vektörünün norm özelliğini kurma.

e_{11}^2 + e_{12}^2 + e_{13}^2 = 1

Temel bileşen katsayıları, toplam varyansı maksimize ederken birim uzunluk (ortogonalite) kısıtına uymak zorundadır; bu nedenle özvektör elemanlarının kareleri toplamı daima 1'e eşitlenir.

Verilen katsayıları norm denkleminde yerine koyma.

(\frac{4}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + c^2 = 1 \implies \frac{16}{81} + \frac{16}{81} + c^2 = 1

Z_1

Z_2

değişkenlerinin bilinen katsayıları denkleme yerleştirilerek bilinmeyen

c

parametresi için eşitlik oluşturulur.

Oluşturulan denklemi çözerek

c^2

değerini bulma.

\frac{32}{81} + c^2 = 1 \implies c^2 = 1 - \frac{32}{81} = \frac{49}{81}

Bilinen değerler eşitliğin karşı tarafına atılarak cebirsel işlemler tamamlanır.

Pozitif

c

katsayısını elde etme.

c = \sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}

Soruda

c

katsayısının pozitif değeri istendiği için elde edilen sonucun pozitif karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Varyansı ve Özvektör Standardizasyonu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular