X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmi… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = 2X$ ve $V = 3Y$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{6}

fonksiyonu ile

0 < u < 2

0 < v < 3

sınırlarını içeren seçenek doğrudur.

Doğru cevap,

U=2X

V=3Y

doğrusal dönüşümü için Jakobiyen determinantının

|(1/2) \times (1/3)| = 1/6

olduğunu ve yeni sınırların

u \in (0, 2)

v \in (0, 3)

aralığına genişlediğini doğru bir şekilde göstermektedir.

Ters dönüşüm denklemlerini yazın.

x = \frac{u}{2}

y = \frac{v}{3}

Jakobiyen determinantını hesaplamak için orijinal değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden ifadesi gerekir.

Jakobiyen determinantını hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile ölçeklenir.

Yeni yoğunluk fonksiyonunu formüle yerleştirin.

h(u, v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Dönüşüm kuralı gereği yeni PDF, eski PDF ile Jakobiyen çarpanının çarpımıdır.

Yeni değişkenlerin tanım aralığını (destek bölgesini) belirleyin.

0 < x < 1 \implies 0 < \frac{u}{2} < 1 \implies 0 < u < 2

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{v}{3} < 1 \implies 0 < v < 3

Değişken dönüşümü yapıldığında olasılığın tanımlı olduğu bölge de değişir.

İki değişkenli bir dönüşümde

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

kuralı uygulanır ve sınırlar her değişken için ayrı ayrı güncellenir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için konvolüsyon yöntemini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru