Bir finansal modelde X ve Y rastgele değişkenleri, iki farklı yatırım aracının bağımsız ri… — KPSS İstatistik

Bir finansal modelde $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, iki farklı yatırım aracının bağımsız risk faktörlerini temsil etmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Analiz sürecinde, portföyün risk metriklerini hesaplamak amacıyla $U = X - Y$ ve $V = X + Y$ şeklinde yeni rastgele değişkenler tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$ Cevap
B
$h(u,v) = \begin{cases} e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
C
$h(u,v) = \begin{cases} 2e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
D
$h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-v}, & u > 0, v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
E
$h(u,v) = \begin{cases} v e^{-v}, & v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Sınırların

-v < u < v

v > 0

olduğu, fonksiyonun ise

1/2 e^{-v}

olarak bulunduğu seçenektir.

Doğru yanıt, çok değişkenli dönüşüm teoreminin (

h(u,v) = f(x,y)|J|

) ve yeni sınırların eksiksiz uygulandığı durumdur. Ters dönüşümler elde edildiğinde

X = (U+V)/2

Y = (V-U)/2

bulunur ve bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

1/2

'dir. Fonksiyon

e^{-v}

halini alır ve

|J|

ile çarpılarak

\frac{1}{2}e^{-v}

elde edilir. Sınırlar ise

X>0

Y>0

şartlarından hareketle eşitsizliklerin çözülmesiyle

-v < u < v

v > 0

olarak tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

U = X - Y

V = X + Y

denklemlerinden

X

Y

'yi yalnız bırakarak ters dönüşümleri elde etme.

Taraf tarafa toplama ve çıkarma ile

X = \frac{U+V}{2}

Y = \frac{V-U}{2}

bulunur.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yeni değişkenler (

U,V

) cinsinden yazabilmek için eski değişkenlerin yeni değişkenler türünden ifadesine ihtiyacımız vardır.

Ters dönüşümlerin Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan değişim oranını dengelemek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpım yapılması zorunludur.

Yeni sınırları (destek kümesini) belirleme.

X > 0 \implies \frac{U+V}{2} > 0 \implies U > -V

Y > 0 \implies \frac{V-U}{2} > 0 \implies U < V

Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde

-V < U < V

elde edilir. Bu durumun sağlanabilmesi için

V > 0

olması gerekir.

Dönüşüm sonrasında fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu yeni bölgenin geometrik sınırlarının doğru tanımlanması gerekir.

Bulunan değerleri orijinal

f(x,y)

fonksiyonunda yerine koyarak

h(u,v)

ortak yoğunluk fonksiyonunu oluşturma.

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = e^{-(\frac{U+V}{2} + \frac{V-U}{2})} \cdot \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} e^{-V}

Dönüşüm teoreminin temel formülü olan

h(u,v) = f(x,y)|J|

eşitliği uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Jakobiyen Dönüşümü

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular