Bir üretim sürecinde ölçülen iki farklı kalite göstergesi X ve Y rastgele değişkenleri ile… — KPSS İstatistik

Bir üretim sürecinde ölçülen iki farklı kalite göstergesi $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ 'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 4xy, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sürecin performansını değerlendirmek için $U = X^2 Y$ ve $V = X^2$ dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u,v) = \begin{cases} 2uv^{-2}, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$ Cevap
B
$h(u,v) = \begin{cases} 4uv^{-1/2}, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
C
$h(u,v) = \begin{cases} 8uv, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
D
$h(u,v) = \begin{cases} 2uv^{-2}, & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$
E
$h(u,v) = \begin{cases} 8uv, & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Cevap

Ortak yoğunluk fonksiyonu mutlak Jakobiyen ile çarpılarak elde edilen ve sınırların doğru daraltıldığı fonksiyon seçeneğidir:

2uv^{-2}

0 < u < v < 1

Doğru yaklaşım için üç aşama eksiksiz uygulanmalıdır: İlk olarak ters dönüşümler

x = \sqrt{v}

y = u/v

olarak tanımlanır. Ardından, kısmı türevler alınarak Jakobiyen determinantı hesaplanır ve mutlak değeri

|J| = \frac{1}{2}v^{-3/2}

elde edilir. Üçüncü olarak sınırlar analiz edildiğinde

0 < y < 1

kuralının

0 < u/v < 1 \implies 0 < u < v

bağımlılığını oluşturduğu görülür. Formülde yerine yazıldığında işlem sonucu

h(u,v) = 2uv^{-2}

(burada

0 < u < v < 1

) çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

x

y

değişkenlerini

u

v

cinsinden ifade etme (Ters dönüşüm).

V = X^2 \implies x = v^{1/2}

U = X^2 Y = v \cdot y \implies y = u v^{-1}

elde edilir.

Jakobiyen determinantını ve yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak için değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması şarttır.

Ters dönüşümlerin Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}v^{-1/2} \\ v^{-1} & -uv^{-2} \end{pmatrix} = (0) - (\frac{1}{2}v^{-1/2})(v^{-1}) = -\frac{1}{2}v^{-3/2}

bulunur.

Değişken değiştirmede yoğunluk fonksiyonunun ölçeklenmesini sağlamak için mutlak Jakobiyen (

|J|

) çarpanı gereklidir.

u

v

'nin tanım aralığını (sınırlarını) belirleme.

0 < x < 1 \implies 0 < v^{1/2} < 1 \implies 0 < v < 1

0 < y < 1 \implies 0 < uv^{-1} < 1 \implies 0 < u < v

elde edilir. Yeni sınırlar

0 < u < v < 1

şeklindedir.

Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenlerin hangi bölgede tanımlı olduğunu bulmak kural gereğidir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

kuralı ile oluşturma.

h(u,v) = 4(v^{1/2})(uv^{-1}) \cdot \left| -\frac{1}{2}v^{-3/2} \right| = (4uv^{-1/2}) \cdot (\frac{1}{2}v^{-3/2}) = 2uv^{-2}

hesaplanır.

Olasılığın korunumu ilkesine dayanan çok değişkenli dönüşüm teoremini tamamlamak için son adımdır.

Anahtar Kavram

Jakobiyen kullanılarak iki boyutlu rastgele değişkenlerde çok değişkenli dönüşüm uygulaması

Alternatif Yöntem

Jakobiyeni ters fonksiyonlardan türetmek yerine doğrudan ilk dönüşümlerin matrisi ile de bulabiliriz:

J^* = \det \begin{pmatrix} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 2x & 0 \end{pmatrix} = -2x^3

. Buradan asıl Jakobiyen katsayısı olan

|J| = 1/|J^*| = \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2}v^{-3/2}

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular