Bir telekomünikasyon ağında, iki farklı veri paketinin yönlendirici üzerindeki işlem sürel… — KPSS İstatistik

Bir telekomünikasyon ağında, iki farklı veri paketinin yönlendirici üzerindeki işlem süreleri (milisaniye cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-x}, & x > 0 \text{ ve } 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Sistem performansını farklı bir ölçekte değerlendirmek için $U = e^X$ ve $V = X + Y$ şeklinde yeni rastgele değişkenler tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ (sıfırdan farklı olduğu bölge için) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{1}{2u^2}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u$ Cevap
B
$\frac{1}{2u}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u$
C
$\frac{1}{2u^2}, \quad u > 1 \text{ ve } 0 < v < 2$
D
$\frac{1}{2}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u$
E
$\frac{1}{2u}, \quad u > 1 \text{ ve } 0 < v < 2$

Cevap

Doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{1}{2u^2}

ve tanım aralığı

u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u

olan seçenektir.

Çok değişkenli dönüşüm kuralı gereği, ilk olarak

x

y

değişkenleri

u

v

cinsinden ifade edilir (

x = \ln u

y = v - \ln u

). Daha sonra orijinal

f(x,y)

fonksiyonunda bu değerler yerine konulur ve dönüşümün Jakobiyen determinantının mutlak değeri (

|J| = 1/u

) ile çarpılır.

\frac{1}{2}e^{-\ln u} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u^2}

elde edilir. Tanım kümeleri de benzer şekilde eşitsizliklerde yerine konulduğunda,

x>0

koşulundan

u>1

0<y<2

koşulundan

\ln u < v < 2+\ln u

eşitsizlikleri bulunur.

Adım Adım Çözüm

U

V

fonksiyonlarının tersini alarak

x

y

değerlerini

u

v

cinsinden ifade edin.

U = e^X \implies x = \ln u

V = X + Y \implies y = v - x = v - \ln u

Değişken dönüşümü yapabilmek için eski değişkenleri yeni değişkenler cinsinden yazmalıyız.

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{u} & 0 \\ -\frac{1}{u} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{u}

Çok değişkenli dönüşümlerde, alan/hacim değişim oranını dengelemek için olasılık yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

Elde edilen ters fonksiyonları ve Jakobiyen determinantını orijinal PDF formülünde yerine koyun.

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = \frac{1}{2} e^{-\ln u} \cdot \left| \frac{1}{u} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u^2}

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun analitik ifadesini elde etmek.

X

Y

'nin mevcut tanım aralıklarını kullanarak

U

V

'nin yeni sınırlarını belirleyin.

x > 0 \implies \ln u > 0 \implies u > 1

0 < y < 2 \implies 0 < v - \ln u < 2 \implies \ln u < v < 2 + \ln u

Yeni rastgele değişkenlerin hangi aralıklarda tanımlı ve geçerli olduğunu bulmak.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen Metodu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular