Bir malzeme mühendisliği laboratuvarında, özel bir kompozit alaşımın dayanıklılık testleri… — KPSS İstatistik

Bir malzeme mühendisliği laboratuvarında, özel bir kompozit alaşımın dayanıklılık testleri sırasında ölçülen iki farklı gerilim bileşeni (sırasıyla $X$ ve $Y$ ), sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, y > 0 \text{ ve } x + y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Mühendisler, malzemenin toplam gerilimini $U = X + Y$ ve gerilim oranını $V = \frac{X}{X + Y}$ dönüşümleriyle analiz etmek istemektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u,v) = \begin{cases} 24u^3 v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$ Cevap
B
$h(u,v) = \begin{cases} 24u^2 v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
C
$h(u,v) = \begin{cases} 24u v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
D
$h(u,v) = \begin{cases} 24u^3 v(1-v), & u > 0 \text{ ve } v > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$
E
$h(u,v) = \begin{cases} 4u^3, & 0 < u < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Cevap

Dönüşüm işlemleri ve Jakobiyen hesaplaması sonucunda doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u,v) = 24u^3 v(1-v)

olarak (tanım aralığı

0 < u < 1

0 < v < 1

) bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde, ortak PDF formülü

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

şeklindedir.

x = uv

y = u(1-v)

dönüşümleri yapıldığında, Jakobiyen determinantı

J = -u

bulunur ve mutlak değeri

|J| = u

olur. Orijinal fonksiyon

24xy

'ye yerleştirildiğinde

24(uv)(u(1-v)) = 24u^2v(1-v)

elde edilir. Bu ifade Jakobiyen mutlak değeri

u

ile çarpılınca

24u^3v(1-v)

sonucuna ulaşılır. Sınırlar incelendiğinde

x+y<1

şartı

u<1

olmasını gerektirir.

x>0

y>0

koşullarından da

v

'nin

0

ile

1

arasında olduğu tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

U

V

'nin denklemlerinden

X

Y

'yi yalnız bırakarak ters dönüşümleri bulun.

U = X + Y

V = \frac{X}{X+Y}

verildiğine göre,

V = \frac{X}{U} \implies X = UV

. Aynı şekilde

Y = U - X = U - UV = U(1-V)

elde edilir.

Jakobiyen determinantını hesaplayabilmek ve orijinal fonksiyondaki

x, y

yerine

u, v

cinsinden ifadeleri yazabilmek için.

Ters dönüşümler üzerinden Jakobiyen matrisini ve determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} V & U \\ 1-V & -U \end{pmatrix} = (V)(-U) - (U)(1-V) = -UV - U + UV = -U

Çok değişkenli dönüşüm teoreminde ortak PDF'in alan ölçeklenmesini düzeltmek için determinant gereklidir.

Dönüşüm formülünü uygulayın:

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

X

Y

pozitif olduğundan

U = X+Y > 0

olmalıdır, bu nedenle

|J| = |-U| = U

olur.

f(UV, U(1-V)) = 24(UV)(U(1-V)) = 24U^2V(1-V)

. Sonuç:

h(u,v) = 24U^2V(1-V) \cdot U = 24U^3V(1-V)

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu matematiksel kurala uygun şekilde oluşturmak için.

U

V

için yeni tanım sınırlarını belirleyin.

x > 0 \implies UV > 0

y > 0 \implies U(1-V) > 0

x+y < 1 \implies U < 1

U>0

olduğu için ilk iki eşitsizlikten

V > 0

1-V > 0 \implies V < 1

çıkar. Tüm sınırlar birleştiğinde:

0 < U < 1

0 < V < 1

bulunur.

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dönüşümle birlikte değişir ve doğru destek kümesinin yazılması zorunludur.

Anahtar Kavram

Jakobiyen ve Çok Değişkenli Rastgele Değişken Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak; CDF yöntemi kullanılabilir, ancak çok değişkenli sistemlerde doğrudan alan hesabı zor olduğundan çok katlı integral işlemiyle aynı Jakobiyen sürecine dönülmesi kaçınılmazdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular