Bir hidroelektrik santralindeki iki farklı türbinin günlük aşınma paylarını modelleyen X v… — KPSS İstatistik

Bir hidroelektrik santralindeki iki farklı türbinin günlük aşınma paylarını modelleyen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = e^{-(x+y)}, \quad x > 0, y > 0

Mühendisler, sistemin toplam aşınmasını $U = X + Y$ ve birinci türbinin toplam aşınma içindeki payını $V = \frac{X}{X+Y}$ dönüşümleriyle analiz etmektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$ Cevap
B
$h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$
C
$h(u,v) = \frac{1}{u} e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$
D
$h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0$
E
$h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0$

Cevap

Doğru fonksiyon

h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

şeklindedir.

Dönüşüm teoremine göre

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) |J|

formülü uygulanmalıdır. Ters dönüşümler

x = uv

y = u(1-v)

olarak bulunur. Buradan Jakobiyen determinantı

J = -u

|J| = u

çıkar. Fonksiyonda yerine yazıldığında

e^{-u} \cdot u

elde edilir. Sınırlar ise

x,y > 0

koşullarından

u>0

0<v<1

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

U

V

denklemlerini kullanarak ters dönüşümleri (

X

Y

) elde etme.

U = X + Y

V = \frac{X}{U}

eşitliklerinden

X = U V

Y = U - X = U(1 - V)

bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için öncelikle eski değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden yazılması gerekir.

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 1-v & -u \end{vmatrix} = -uv - u(1-v) = -u

elde edilir. Mutlak değeri

|J| = u

olur.

Çok katlı integrallerde alan/hacim değişim oranını dengelemek için olasılık yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

U

V

değişkenlerinin yeni tanım sınırlarını belirleme.

x > 0 \implies uv > 0

y > 0 \implies u(1-v) > 0

u > 0

olduğu için

v > 0

1-v > 0 \implies v < 1

olmalıdır. Sınırlar:

u > 0, \ 0 < v < 1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu destek bölgesi (tanım aralığı), başlangıçtaki koşullara göre yeniden şekillendirilmelidir.

Ters dönüşümleri ve Jakobiyen determinantını başlangıçtaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazma.

h(u,v) = f(uv, u(1-v)) \cdot |J| = e^{-(uv + u - uv)} \cdot u = u e^{-u}

bulunur.

Rastgele değişkenlerin dönüşüm teoreminin son adımı olarak formül uygulanır.

Anahtar Kavram

İki rastgele değişkenin sürekli fonksiyonlarının ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu Jakobiyen determinantı yöntemiyle bulma.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular