Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, parametresi λ>0\lambda > 0 olan Poisson dağılımından alınmış rastgele bir örneklem olsun. Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

P(X=x)=e−λλxx!,x=0,1,2,…P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Buna göre, g(λ)=e−3λg(\lambda) = e^{-3\lambda} fonksiyonunun yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    λe−6λn\frac{\lambda e^{-6\lambda}}{n}
  2. B
    3λe−3λn\frac{3\lambda e^{-3\lambda}}{n}
  3. 9λe−6λn\frac{9\lambda e^{-6\lambda}}{n}Cevap
  4. D
    9λ2e−6λn\frac{9\lambda^2 e^{-6\lambda}}{n}
  5. E
    9λe−6λ9\lambda e^{-6\lambda}

Cevap

Doğru cevap 9λe−6λn\frac{9\lambda e^{-6\lambda}}{n} ifadesidir.
Cramer-Rao alt sınırı (CRLB), ilgilenilen parametrenin fonksiyonunun türevinin karesinin, örneklem Fisher bilgi miktarına bölünmesiyle elde edilir. Poisson dağılımı için tek bir gözlemin Fisher bilgisi 1/λ1/\lambda ve nn hacimli örneklemin Fisher bilgisi n/λn/\lambda'dır. g(λ)=e−3λg(\lambda) = e^{-3\lambda} fonksiyonunun türevi −3e−3λ-3e^{-3\lambda} olup, karesi 9e−6λ9e^{-6\lambda}'dır. Bu değer örneklem Fisher bilgisine bölündüğünde doğru sonuç olan 9λe−6λn\frac{9\lambda e^{-6\lambda}}{n} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu ve parametreye göre türevlerini hesaplama.
ln⁡f(x;λ)=−λ+xln⁡λ−ln⁡(x!)\ln f(x; \lambda) = -\lambda + x \ln \lambda - \ln(x!) olup, birinci türev −1+xλ-1 + \frac{x}{\lambda} ve ikinci türev −xλ2-\frac{x}{\lambda^2} olarak bulunur.
Fisher bilgi matrisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevine ihtiyaç vardır.
2
Tek gözlem ve n hacimli örneklem için Fisher bilgisini bulma.
I1(λ)=−E[−Xλ2]=E[X]λ2=λλ2=1λI_1(\lambda) = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{E[X]}{\lambda^2} = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda} elde edilir. Örneklem Fisher bilgisi ise In(λ)=nλI_n(\lambda) = \frac{n}{\lambda} olur.
Cramer-Rao alt sınırının paydasında örneklem Fisher bilgisi yer alır.
3
g(λ)g(\lambda) fonksiyonunun türevini alıp karesini hesaplama.
g′(λ)=−3e−3λg'(\lambda) = -3e^{-3\lambda} bulunur ve karesi [g′(λ)]2=9e−6λ[g'(\lambda)]^2 = 9e^{-6\lambda} elde edilir.
Cramer-Rao alt sınırının pay kısmında, ilgilenilen parametrik fonksiyonun türevinin karesi kullanılmalıdır.
4
Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulama.
CRLB=[g′(λ)]2In(λ)=9e−6λn/λ=9λe−6λnCRLB = \frac{[g'(\lambda)]^2}{I_n(\lambda)} = \frac{9e^{-6\lambda}}{n/\lambda} = \frac{9\lambda e^{-6\lambda}}{n} sonucuna ulaşılır.
Alt sınırı bulmak için pay ve payda değerleri orantılanır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru