Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir otomotiv fabrikasında üretilen özel alaşımlı millerin çaplarındaki referans değere göre mikron cinsinden sapmalar XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda XX rastgele değişkeninin olasılık dağılımı verilmiştir:

xx−3-3−2-2−1-100112233
P(X=x)P(X=x)0.150.150.100.100.100.100.300.300.100.100.100.100.150.15

Kalite kontrol departmanı, millerin sapmalarından kaynaklanan işçilik ve malzeme kaybı maliyetini hesaplamak için Y=X2−2∣X∣+1Y = X^2 - 2|X| + 1 dönüşümünü kullanmaktadır.

Buna göre, maliyeti temsil eden YY rastgele değişkeninin varyansı (Var(Y)Var(Y)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2.41Cevap
  2. B
    3.60
  3. C
    5.30
  4. D
    11.11
  5. E
    28.81

Cevap

Doğru yanıt 2.41'dir.
Doğru yanıt 2.41'dir. Y=X2−2∣X∣+1Y = X^2 - 2|X| + 1 ifadesi tam kareye tamamlandığında (∣X∣−1)2(|X| - 1)^2 elde edilir. Bu dönüşüm uygulandığında, XX rastgele değişkeninin aldığı değerler örtüşerek YY değişkeni için yalnızca 0, 1 ve 4 değerlerini üretir. Kütle olasılıkları toplandığında P(Y=0)=0.20P(Y=0)=0.20, P(Y=1)=0.50P(Y=1)=0.50 ve P(Y=4)=0.30P(Y=4)=0.30 bulunur. Bu noktadan itibaren E[Y]=1.70E[Y] = 1.70 ve E[Y2]=5.30E[Y^2] = 5.30 olarak hesaplanır. Varyans genel kuralı olan Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 formülü uygulandığında sonucun 5.30−2.89=2.415.30 - 2.89 = 2.41 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Y=X2−2∣X∣+1Y = X^2 - 2|X| + 1 dönüşümünü düzenleyerek YY rastgele değişkeninin alabileceği değerleri tespit etmek.
Y=(∣X∣−1)2Y = (|X| - 1)^2 fonksiyonu kullanılarak XX değerleri için YY sonuçları bulunur: X=0→Y=1X=0 \rightarrow Y=1; X=±1→Y=0X=\pm 1 \rightarrow Y=0; X=±2→Y=1X=\pm 2 \rightarrow Y=1; X=±3→Y=4X=\pm 3 \rightarrow Y=4.
Varyans hesaplaması için yeni rastgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) oluşturmak gereklidir.
2
YY değerlerinin örtüştüğü durumlardaki olasılıkları toplamak ve YY'nin olasılık dağılımını elde etmek.
P(Y=0)=P(X=−1)+P(X=1)=0.10+0.10=0.20P(Y=0) = P(X=-1) + P(X=1) = 0.10 + 0.10 = 0.20. P(Y=1)=P(X=0)+P(X=−2)+P(X=2)=0.30+0.10+0.10=0.50P(Y=1) = P(X=0) + P(X=-2) + P(X=2) = 0.30 + 0.10 + 0.10 = 0.50. P(Y=4)=P(X=−3)+P(X=3)=0.15+0.15=0.30P(Y=4) = P(X=-3) + P(X=3) = 0.15 + 0.15 = 0.30.
Aynı YY değerine dönüşen XX durumları ayrık olaylar olduğu için olasılıkları toplanmalıdır.
3
YY rastgele değişkeninin beklenen değerini (E[Y]E[Y]) hesaplamak.
E[Y]=(0×0.20)+(1×0.50)+(4×0.30)=0+0.50+1.20=1.70E[Y] = (0 \times 0.20) + (1 \times 0.50) + (4 \times 0.30) = 0 + 0.50 + 1.20 = 1.70.
Varyans formülü Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 işleminde E[Y]E[Y] değerine ihtiyaç vardır.
4
YY rastgele değişkeninin ikinci momentini (E[Y2]E[Y^2]) hesaplamak.
E[Y2]=(02×0.20)+(12×0.50)+(42×0.30)=0+0.50+(16×0.30)=5.30E[Y^2] = (0^2 \times 0.20) + (1^2 \times 0.50) + (4^2 \times 0.30) = 0 + 0.50 + (16 \times 0.30) = 5.30.
Varyans formülünün diğer bileşenini elde etmek içindir.
5
Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 formülünü uygulamak.
Var(Y)=5.30−(1.70)2=5.30−2.89=2.41Var(Y) = 5.30 - (1.70)^2 = 5.30 - 2.89 = 2.41.
YY rastgele değişkeninin varyansını nihai olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Doğrusal Olmayan Dönüşümler ve Dağılım Eldesi
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler