Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir ulusal enerji dağıtım merkezinde, elektrik şebekesindeki anlık frekans sapmaları XX (mHz) kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx-2-10123
P(X=x)P(X=x)0,100,150,200,250,200,10

Sistemdeki anlık dengeleme maliyeti, frekans sapmasına bağlı olarak Y=(X−1)2Y = (X-1)^2 dönüşüm fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, sistemde sıfırdan farklı bir dengeleme maliyeti oluştuğu bilindiğine göre, bu maliyetin 2 birim veya daha yüksek olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    720\frac{7}{20}
  3. 715\frac{7}{15}Cevap
  4. D
    716\frac{7}{16}
  5. E
    611\frac{6}{11}

Cevap

Dönüştürülmüş değişkenin olasılık kütle fonksiyonu oluşturulup koşullu olasılık uygulandığında doğru sonuç 715\frac{7}{15} olarak bulunur.
Kesikli rastgele değişkenlerde Y=g(X)Y = g(X) dönüşümü yapılırken, aynı YY değerine ulaşan farklı XX değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır. Y=(X−1)2Y=(X-1)^2 dönüşümünde Y=4Y=4 sonucunu hem X=−1X=-1 hem de X=3X=3 verir; bu nedenle P(Y=4)=P(X=−1)+P(X=3)=0,25P(Y=4) = P(X=-1) + P(X=3) = 0,25 olur. Aynı şekilde Y=9Y=9 sonucunu X=−2X=-2 verir ve P(Y=9)=0,10P(Y=9) = 0,10 bulunur. Y≥2Y \geq 2 olma olasılığı 0,25+0,10=0,350,25 + 0,10 = 0,35'tir. Soruda maliyetin sıfır olmadığı koşulu verildiğinden P(Y>0)=1−P(Y=0)=0,75P(Y > 0) = 1 - P(Y=0) = 0,75 hesaplanır. Koşullu olasılık formülü gereği 0,35/0,75=7/150,35 / 0,75 = 7/15 doğru değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Y=(X−1)2Y = (X-1)^2 dönüşümü altındaki olası YY değerlerini belirleme
X={−2,−1,0,1,2,3}X=\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} için sırasıyla Y={9,4,1,0,1,4}Y=\{9, 4, 1, 0, 1, 4\} değerleri elde edilir.
Yeni rastgele değişkenin alabileceği örnek uzay noktalarını tespit etmek.
2
Çakışan YY değerlerinin olasılıklarını toplayarak YY'nin olasılık kütle fonksiyonunu oluşturma
P(Y=0)=0,25P(Y=0)=0,25, P(Y=1)=0,20+0,20=0,40P(Y=1)=0,20+0,20=0,40, P(Y=4)=0,15+0,10=0,25P(Y=4)=0,15+0,10=0,25, P(Y=9)=0,10P(Y=9)=0,10.
Bire-bir olmayan dönüşümlerde (karesel), aynı YY değerini veren farklı XX olayları ayrık olduğundan olasılıkları toplanmalıdır.
3
Koşul olayının olasılığını (payda) hesaplama
Maliyetin sıfırdan farklı olma koşulu: P(Y>0)=1−P(Y=0)=1−0,25=0,75P(Y > 0) = 1 - P(Y=0) = 1 - 0,25 = 0,75.
Koşullu olasılık formülünde kullanılacak olan payda değerini elde etmek.
4
İstenen olayın (Y≥2Y \geq 2 ve Y>0Y > 0) ortak olasılığını (pay) hesaplama
Kesişim kümesi Y≥2Y \geq 2 durumuna eşittir: P(Y≥2)=P(Y=4)+P(Y=9)=0,25+0,10=0,35P(Y \geq 2) = P(Y=4) + P(Y=9) = 0,25 + 0,10 = 0,35.
Koşullu olasılık formülündeki pay (kesişim) kısmını elde etmek.
5
Koşullu olasılık formülünü uygulama
P(Y≥2∣Y>0)=0,350,75=3575=715P(Y \geq 2 \mid Y > 0) = \frac{0,35}{0,75} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15}.
Verilen koşul altında istenen olayın nihai gerçekleşme olasılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Bire-bir Olmayan Dönüşümler ve Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler