Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir siber güvenlik merkezinde, bir ana sunucuya saniyede yapılan şüpheli erişim denemelerinin tarihsel referans değerden sapması XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx−2-2−1-100112233
P(X=x)P(X=x)0,150,150,100,100,250,250,200,200,200,200,100,10

Sistem, bu sapmaları analiz ederek her saniye için Y=X2−2XY = X^2 - 2X formülü ile bir 'tehdit endeksi' (YY) hesaplamaktadır.

Buna göre, hesaplanan tehdit endeksinin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olma olasılığı, P(Y≤0)P(Y \le 0) kaçtır?

  1. A
    0,25
  2. B
    0,45
  3. C
    0,50
  4. 0,65Cevap
  5. E
    0,80

Cevap

İstenen olasılık 0,65'tir.
Soruda hesaplanması istenen P(Y≤0)P(Y \le 0) olasılığı için, Y=X2−2XY = X^2 - 2X dönüşümü kullanılır. X2−2X≤0X^2 - 2X \le 0 eşitsizliği çözüldüğünde X(X−2)≤0X(X - 2) \le 0 elde edilir ve bu eşitsizliği sağlayan aralık 0≤X≤20 \le X \le 2'dir. XX kesikli bir rastgele değişken olduğu için bu aralığa düşen değerler yalnızca X=0X=0, X=1X=1 ve X=2X=2'dir. Son olarak, bu değerlere karşılık gelen olasılıklar toplanarak sonuca ulaşılır: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,25+0,20+0,20=0,65P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,25 + 0,20 + 0,20 = 0,65.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen koşulun X değişkeni cinsinden ifade edilmesi
X2−2X≤0X^2 - 2X \le 0 eşitsizliğinin kökleri bulunur ve 0≤X≤20 \le X \le 2 eşitsizliği elde edilir.
Y≤0Y \le 0 şartını sağlayan temel XX değerlerini belirlemek için dönüşüm formülü eşitsizlikte yerine konur.
2
Eşitsizliği sağlayan kesikli X değerlerinin belirlenmesi
XX değişkeni 00, 11 ve 22 değerlerini alabilir.
Olasılık tablosunda verilen örnek uzaydaki değerlerden (−2,−1,0,1,2,3-2, -1, 0, 1, 2, 3) sadece 00, 11 ve 22 bu eşitsizliği sağlar.
3
İlgili ayrık noktaların olasılıklarının toplanması
P(Y≤0)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,25+0,20+0,20=0,65P(Y \le 0) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,25 + 0,20 + 0,20 = 0,65 olarak bulunur.
YY'nin 00 veya negatif olma olasılığı, bu şartı sağlayan tüm ayrık XX olaylarının olasılıkları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Alternatif Yöntem

Tüm X değerleri için tek tek Y değerlerini hesaplayıp (X=-2 için Y=8, X=-1 için Y=3, X=0 için Y=0, X=1 için Y=-1, X=2 için Y=0, X=3 için Y=3) yeni bir olasılık dağılım tablosu (Y tablosu) oluşturulabilir ve ardından sıfıra eşit veya küçük olan Y değerlerinin olasılıkları toplanabilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler