Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir gümrük müdürlüğünde, günlük incelenen beyanname sayısının belirlenen standart hedeften sapma miktarı XX kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. XX değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx-2-1012
P(X=x)P(X=x)0,080,220,350,180,17

Kurumun risk değerlendirme yönergesine göre, günlük sapma miktarı üzerinden bir 'Operasyonel Risk Endeksi' hesaplanmakta ve bu endeks Y=X2Y = X^2 fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde Operasyonel Risk Endeksinin 1 olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,18
  2. B
    0,22
  3. C
    0,25
  4. D
    0,35
  5. 0,40Cevap

Cevap

Doğru cevap, Operasyonel Risk Endeksinin 1 olma olasılığının 0,40 olduğunu belirten seçenektir.
Y=1Y = 1 koşulu, X2=1X^2 = 1 denklemine karşılık gelmektedir. Bu eşitliği sağlayan XX değerleri −1-1 ve 11'dir. Kesikli rastgele değişkenlerde bir fonksiyonun olasılığı, o değeri üreten tüm bağımsız girdi olasılıklarının toplamıdır. Bu nedenle YY'nin 1 değerini alma olasılığı, XX'in −1-1 ve 11 değerlerini alma olasılıklarının toplamı ile bulunur: 0,22+0,18=0,400,22 + 0,18 = 0,40.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen olasılık ifadesini XX rastgele değişkeni cinsinden yazmak.
P(Y=1)=P(X2=1)P(Y = 1) = P(X^2 = 1)
YY rastgele değişkeni Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile tanımlanmıştır.
2
Dönüşüm denklemini sağlayan gerçel kökleri tespit etmek.
X2=1  ⟹  X=−1 veya X=1X^2 = 1 \implies X = -1 \text{ veya } X = 1
Karesi 1 olan iki farklı gerçel sayı (biri negatif, biri pozitif) bulunmaktadır ve destek kümesindeki (support) tüm geçerli XX değerleri dikkate alınmalıdır.
3
İlgili ayrık durumların olasılıklarını tablodan bularak toplamak.
P(X=−1)+P(X=1)=0,22+0,18=0,40P(X = -1) + P(X = 1) = 0,22 + 0,18 = 0,40
X=−1X = -1 ve X=1X = 1 aynı anda gerçekleşemeyen ayrık (mutually exclusive) olaylar olduğundan, birleşimin olasılığı bu iki durumun olasılıklarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde karesel (non-monotonik) dönüşümler altında olasılık fonksiyonunun elde edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler