Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA)

Bir zaman serisi analisti, YtY_t serisi için gecikme operatörü (BB) kullanılarak ifade edilen aşağıdaki modeli tahmin etmiştir:

(1−1,2B+0,35B2)Yt=(1−1,5B)ϵt(1 - 1,2B + 0,35B^2) Y_t = (1 - 1,5B) \epsilon_t

(Burada ϵt\epsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Elde edilen bu modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Model, durağan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinir (invertible) değildir.Cevap
  2. B
    Model, durağan olmayan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinirdir.
  3. C
    Modelin gecikme operatörüne (BB) bağlı otoregresif polinomunun kökleri mutlak değerce 1'den küçük çıktığı için süreç durağandır.
  4. D
    Modelin gecikme operatörüne (BB) bağlı hareketli ortalama polinomunun kökü mutlak değerce 1'den büyük çıktığı için süreç tersinirdir.
  5. E
    Modele ait teorik otokorelasyon (ACF) fonksiyonu 1. gecikmeden, kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonu ise 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir.

Cevap

Model, durağan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinir (invertible) değildir.
Verilen denklemde eşitliğin sol tarafı 2. dereceden bir AR, sağ tarafı ise 1. dereceden bir MA süreci barındırdığından model ARMA(2,1)'dir. Gecikme operatörüne bağlı AR polinomunun (1−1,2B+0,35B2=01 - 1,2B + 0,35B^2 = 0) kökleri 2 ve 10/7'dir. Her ikisi de mutlak değerce 1'den büyük olduğu için süreç durağandır. Diğer yandan MA polinomunun (1−1,5B=01 - 1,5B = 0) kökü olan 2/3 değeri mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç tersinir (invertible) değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ ve sol taraflarındaki polinom derecelerini inceleyerek model türünü belirleyin.
Sol taraftaki otoregresif (AR) polinomun en büyük derecesi 2, sağ taraftaki hareketli ortalama (MA) polinomunun en büyük derecesi 1'dir. Model ARMA(2,1)'dir.
ARMA(p,q) modellerinde p, AR polinomunun; q ise MA polinomunun gecikme derecesini ifade eder.
2
Modelin durağanlığını kontrol etmek için otoregresif polinomun (1−1,2B+0,35B2=01 - 1,2B + 0,35B^2 = 0) köklerini bulun.
Kökler hesaplandığında B1=2B_1 = 2 ve B2=10/7≈1,428B_2 = 10/7 \approx 1,428 bulunur. Her iki kök de mutlak değerce 1'den büyüktür (∣Bi∣>1|B_i| > 1). Dolayısıyla süreç durağandır.
Bir ARMA sürecinin durağan olabilmesi için gecikme operatörüne bağlı AR polinomunun tüm köklerinin birim çemberin dışında (mutlak değerce 1'den büyük) yer alması gerekir.
3
Modelin tersinirliğini (invertibility) kontrol etmek için hareketli ortalama polinomunun (1−1,5B=01 - 1,5B = 0) kökünü bulun.
Denklem çözüldüğünde 1,5B=1⇒B=2/3≈0,6671,5B = 1 \Rightarrow B = 2/3 \approx 0,667 elde edilir. Kök mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç tersinir değildir.
Bir ARMA sürecinin tersinir olabilmesi için gecikme operatörüne bağlı MA polinomunun tüm köklerinin birim çemberin dışında (mutlak değerce 1'den büyük) yer alması gerekir.
4
Bulunan bu özellikleri seçeneklerle karşılaştırın.
Modelin durağan bir ARMA(2,1) olduğu ancak tersinir olmadığı sonucuna varılır.
Doğru eşleşme yalnızca bu çıkarımları bir arada sunan ifadede yer almaktadır.

Anahtar Kavram

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşullarının İncelenmesi

Alternatif Yöntem

Durağanlık kontrolü için AR polinomunun köklerini bulmak yerine, AR(2) süreci parametre koşulları kullanılabilir: ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1. Verilen modelde ϕ1=1,2\phi_1 = 1,2 ve ϕ2=−0,35\phi_2 = -0,35'tir. Kontrol edildiğinde 1,2−0,35=0,85<11,2 - 0,35 = 0,85 < 1, −0,35−1,2=−1,55<1-0,35 - 1,2 = -1,55 < 1 ve ∣−0,35∣=0,35<1|-0,35| = 0,35 < 1 eşitsizliklerinin üçü de sağlandığından, modelin durağan olduğu kök hesaplamadan da teyit edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA)