Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir çevre mühendisi, belirli bir nehirdeki ağır metal derişimlerini (mg/L cinsinden) analiz etmektedir. n=16n = 16 farklı noktadan alınan rastgele ve bağımsız su örneklerine ait ölçüm değerleri X1,X2,…,X16X_1, X_2, \ldots, X_{16} olup, bu değerlerin Lognormal (μ,σ2)(\mu, \sigma^2) dağılımına sahip olduğu bilinmektedir. Dağılımın hem μ\mu hem de σ2\sigma^2 parametreleri bilinmemektedir.

Araştırmacı, verileri normalleştirmek amacıyla Yi=ln⁡(Xi)Y_i = \ln(X_i) dönüşümünü uygulamış; dönüştürülmüş veriler üzerinden örneklem ortalamasını Yˉ\bar{Y} ve örneklem varyansını SY2=115∑i=116(Yi−Yˉ)2S_Y^2 = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16} (Y_i - \bar{Y})^2 olarak hesaplamıştır.

Buna göre, μ\mu parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla kullanılması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Q=Yˉ−μSY/4∼t(15)Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim t_{(15)}Cevap
  2. B
    Q=Yˉ−μSY/4∼N(0,1)Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} \sim N(0, 1)
  3. C
    Q=Xˉ−μSX/4∼t(15)Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S_X / 4} \sim t_{(15)}
  4. D
    Q=15SY2σ2∼χ(15)2Q = \frac{15 S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(15)}
  5. E
    Q=Yˉ−μσ/4∼N(0,1)Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / 4} \sim N(0, 1)

Cevap

μ\mu parametresi için en uygun pivot fonksiyonu, dönüştürülmüş veriler (Y) üzerinden oluşturulan ve kitle varyansı bilinmediği için SYS_Y kullanan, n−1=15n-1=15 serbestlik dereceli tt dağılımına sahip fonksiyondur.
Doğru seçenek, Lognormal dönüşümü doğru bir şekilde uygulayıp verileri N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) dağılımına indirgeyen ve kitle varyansı bilinmediği için örneklem standart sapmasını (SYS_Y) kullanarak tam olarak n−1=15n-1=15 serbestlik dereceli tt dağılımını veren pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1
Veri dönüşümünün dağılımsal sonucunu belirleme.
Xi∼Lognormal(μ,σ2)X_i \sim Lognormal(\mu, \sigma^2) olduğundan, logaritma dönüşümü sonrası Yi=ln⁡(Xi)∼N(μ,σ2)Y_i = \ln(X_i) \sim N(\mu, \sigma^2) olur.
Lognormal dağılımın temel özelliği gereği, rastgele değişkenin doğal logaritması her zaman Normal dağılıma uyar.
2
Aranan parametreyi izole edecek temel formülasyonu kurma.
μ\mu parametresi için örneklem ortalaması Yˉ\bar{Y} kullanılacaktır. Hem μ\mu hem de σ2\sigma^2 bilinmediğinden, σ\sigma yerine örneklem standart sapması SYS_Y kullanılmalıdır.
Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmaması ve hesaplanabilir olması gerekir. Bilinmeyen σ\sigma'yı fonksiyonda bırakmak pivot kuralını bozar.
3
İstatistiğin tam dağılımını ve serbestlik derecesini (df) belirleme.
İstatistik Q=Yˉ−μSY/16=Yˉ−μSY/4Q = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / \sqrt{16}} = \frac{\bar{Y} - \mu}{S_Y / 4} biçimini alır ve dağılımı n−1=15n-1 = 15 serbestlik dereceli Student's t (t(15)t_{(15)}) olur.
Normal dağılımlı bir kitleden çekilen örneklemde, ortalamanın standartlaştırılmasında kitle varyansı yerine örneklem varyansı kullanıldığında, istatistik kesin olarak t dağılımını izler.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonu oluşturulurken; dönüştürülmüş verinin dağılım özellikleri dikkate alınmalı, fonksiyon tahmin edilecek parametreyi içermeli ve fonksiyonun olasılık dağılımı bilinmeyen hiçbir parametreye bağlı olmamalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru