Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, sunuculardaki anlık aşırı yüklenme durumları XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, kk pozitif bir sabit olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X=x)=x2+1k,x∈{−2,−1,0,1,2,3}P(X = x) = \frac{x^2 + 1}{k}, \quad x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Sistemdeki bu dalgalanmaların kuruma oluşturduğu operasyonel etki ise Y=(X−1)2Y = (X-1)^2 dönüşümü ile belirlenmektedir.

Buna göre, YY rastgele değişkeninin 44 değerini alma olasılığı (P(Y=4)P(Y=4)) kaçtır?

  1. A
    225\frac{2}{25}
  2. B
    15\frac{1}{5}
  3. 1225\frac{12}{25}Cevap
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    25\frac{2}{5}

Cevap

İstenen olasılık değeri 1225\frac{12}{25}'tir.
Kesikli rastgele değişkenlerde Y=g(X)Y = g(X) şeklindeki dönüşümlerde, belirli bir Y=yY=y değerinin olasılığı bulunurken, g(x)=yg(x) = y eşitliğini sağlayan tüm X=xX=x değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır. Denklem Y=(X−1)2=4Y = (X-1)^2 = 4 olarak verildiğinden, X−1=±2X-1 = \pm 2 eşitliği kurularak X=3X=3 ve X=−1X=-1 kökleri tespit edilir. Dağılımın geçerli olabilmesi için tüm P(X=x)P(X=x) değerlerinin toplamı olan 25k\frac{25}{k} ifadesi 11'e eşitlenerek k=25k=25 sabiti bulunur. Sonrasında X=3X=3 için olasılık 1025\frac{10}{25} ve X=−1X=-1 için olasılık 225\frac{2}{25} toplanarak nihai cevap 1225\frac{12}{25} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonundaki kk sabitinin bulunması için tüm olasılıkların toplamı 11'e eşitlenir.
∑P(X=x)=5+2+1+2+5+10k=1  ⟹  25k=1  ⟹  k=25\sum P(X=x) = \frac{5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 10}{k} = 1 \implies \frac{25}{k} = 1 \implies k = 25
Bir olasılık kütle fonksiyonunda tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
2
Y=4Y = 4 durumunu sağlayan XX değerleri belirlenir.
(X−1)2=4  ⟹  X−1=2(X-1)^2 = 4 \implies X-1 = 2 veya X−1=−2  ⟹  X=3X-1 = -2 \implies X = 3 veya X=−1X = -1
Değişken dönüşümlerinde, hedef değerin (Y=4) ters görüntüsü alınarak, tanım kümesindeki hangi X değerlerinin bu sonucu ürettiği bulunmalıdır.
3
Bulunan XX değerlerinin olasılıkları toplanarak P(Y=4)P(Y=4) hesaplanır.
P(Y=4)=P(X=3)+P(X=−1)=32+125+(−1)2+125=1025+225=1225P(Y=4) = P(X=3) + P(X=-1) = \frac{3^2+1}{25} + \frac{(-1)^2+1}{25} = \frac{10}{25} + \frac{2}{25} = \frac{12}{25}
Ayrık olaylar oldukları için, Y'yi 4 yapan tüm bağımsız X durumlarının olasılıkları toplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde birebir olmayan (non-monotonic) fonksiyon dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Tüm Y evrenini listeleyerek dağılım tablosunu yeniden oluşturabilirsiniz: X değerlerini tek tek yerine koyup Y değerlerini {-2→9, -1→4, 0→1, 1→0, 2→1, 3→4} bulun. Sonra aynı Y değerine sahip olan olasılıkları gruplandırın.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler